Algebra di $RR$
Ciao garazzi 
Oggi un esercizio in aula mi ha lasciato parecchio perplesso e comincio esponendo il testo:
sia $F$ la famiglia delle unioni finite di intervalli di $RR$ del tipo $[a,b)$ con $a
Secondo me questa non è un’algebra per vari motivi.
Una contraddizione la trovo già quì: supponiamo che $F$ sia un Algebra, allora $emptyset inF => emptyset^c=RR in F$ dunque esiste un sottoinsieme ${[a_i,b_i)}_(i=1)^(n)$ di $F$ con $a_ileqb_i$ tale che
È chiaro che questo è assurdo in quanto esiste $k=min_(i)(a_i)$ pertanto qualsiasi $x
Poi mi è stato detto che in realtà quella era una notazione, ma invece di intendeva che la famiglia contiene l’insieme di tutti gli intervalli di $RR$ che contengono l’estremo inferiore dell’intervallo stesso.
Ma questo cadrebbe subito in contraddizione in quanto $RR=(-infty,infty)$ e di certo l’estremo inferiore non appartiene a tale insieme quindi $RR$ non potrebbe sicuramente stare nella famiglia.
Insomma: tutto in tutto questo baccanale io sono fermamente convinto che nessuna delle due sia un’algebra di $RR$ voi che ne pensate?
Oggi un esercizio in aula mi ha lasciato parecchio perplesso e comincio esponendo il testo:
sia $F$ la famiglia delle unioni finite di intervalli di $RR$ del tipo $[a,b)$ con $a
Secondo me questa non è un’algebra per vari motivi.
Una contraddizione la trovo già quì: supponiamo che $F$ sia un Algebra, allora $emptyset inF => emptyset^c=RR in F$ dunque esiste un sottoinsieme ${[a_i,b_i)}_(i=1)^(n)$ di $F$ con $a_ileqb_i$ tale che
$RR=bigcup_(k=1)^(n)[a_i,b_i)$
È chiaro che questo è assurdo in quanto esiste $k=min_(i)(a_i)$ pertanto qualsiasi $x
Poi mi è stato detto che in realtà quella era una notazione, ma invece di intendeva che la famiglia contiene l’insieme di tutti gli intervalli di $RR$ che contengono l’estremo inferiore dell’intervallo stesso.
Ma questo cadrebbe subito in contraddizione in quanto $RR=(-infty,infty)$ e di certo l’estremo inferiore non appartiene a tale insieme quindi $RR$ non potrebbe sicuramente stare nella famiglia.
Insomma: tutto in tutto questo baccanale io sono fermamente convinto che nessuna delle due sia un’algebra di $RR$ voi che ne pensate?
Risposte
Generalmente, in questo genere di esercizi, si unisce "implicitamente" l'insieme vuoto e tutto \(\mathbb{R}\) a quella famiglia.
Ciao vict
Non è stato detto né prima dell'esercizio, né dopo le contestazioni.
In ogni caso, in generale
C'è anche questo che va osservato. Ogni intervallo è tranquillamente unione finita del solo intervallo stesso e quindi ci deve stare, ma il suo complementare non ci sta nemmeno per sbaglio. Infatti quella cosa a destra non si può scrivere come unione finita di intervalli di $RR$ di quel tipo
Non è stato detto né prima dell'esercizio, né dopo le contestazioni.
In ogni caso, in generale
$[a,b)^c=(-infty,a)cup[b,+infty)$
C'è anche questo che va osservato. Ogni intervallo è tranquillamente unione finita del solo intervallo stesso e quindi ci deve stare, ma il suo complementare non ci sta nemmeno per sbaglio. Infatti quella cosa a destra non si può scrivere come unione finita di intervalli di $RR$ di quel tipo
Non mi sono messo a fare tutti i calcoli, ma penso che se si considerano intervalli del tipo \([a, b)\) con \(-\infty \le a \le b \le +\infty\) allora l'esercizio dovrebbe funzionare. Insomma se si considerano gli intervalli del tipo \((-\infty, b)\), \([a,b)\) e \([b,\infty)\). Il non richiedere \(a < b\) ma \(a\le b\) serve per avere \(\emptyset = [a, a)\).
In quel caso si dovrebbe parlare della retta estesa.
Comunque mi è sembrato un esercizio abbastanza mal posto e che comunque non poter essere risolto in quelle condizioni
Comunque mi è sembrato un esercizio abbastanza mal posto e che comunque non poter essere risolto in quelle condizioni
Ma qual è la definizione di "algebra"? queste definizioni sono note per essere molto ballerine
Ciao dissonance
La definizione che utilizzo penso sia quella più comune o comunque è quella utilizzata a lezione e che ho visto su molti libri:
sia $X$ un insieme e $F={X_i}_(i in I)$ una famiglia di insiemi.
Allora $F$ si dice essere un’Algebra in $X$ se:
• $emptyset in F$
• $forall A in F, A^c in F$
• $forall A,B inF, AcupB inF$
La definizione che utilizzo penso sia quella più comune o comunque è quella utilizzata a lezione e che ho visto su molti libri:
sia $X$ un insieme e $F={X_i}_(i in I)$ una famiglia di insiemi.
Allora $F$ si dice essere un’Algebra in $X$ se:
• $emptyset in F$
• $forall A in F, A^c in F$
• $forall A,B inF, AcupB inF$
"dissonance":
Ma qual è la definizione di "algebra"?
Una $\sigma$-algebra senza $\sigma$
"vict85":
Non mi sono messo a fare tutti i calcoli, ma penso che se si considerano intervalli del tipo \([a, b)\) con \(-\infty \le a \le b \le +\infty\) allora l'esercizio dovrebbe funzionare. Insomma se si considerano gli intervalli del tipo \((-\infty, b)\), \([a,b)\) e \([b,\infty)\). Il non richiedere \(a < b\) ma \(a\le b\) serve per avere \(\emptyset = [a, a)\).
I second this
Così com'è scritto il testo, per me $F$ non è un'algebra. Per far funzionare l'esercizio, sostituirei "unione finita" con unione numerabile [Edit] nella traccia- non nella definizione [/Edit]. Ad ogni modo, consiglio a anto_zoolander di chiedere direttamente al prof se possibile (e poi riportare qui le eventuali correzioni - ora sono curioso di sapere cosa avesse in mente).
Il fatto è che serve sia una unione finita. Questo non è un esempio così a capocchia, ma una cosa che poi si può usare veramente, combinandola con un teorema di estensione. Mi ricordo di averla vista quando studiavo probabilità.
Io comunque non la vedo così tragica. Il professore avrebbe potuto specificare che aveva in mente anche \(a=-\infty\) e \(b=+\infty\), ok, ma a parte questo non mi pare il caso di crocifiggerlo così
Io comunque non la vedo così tragica. Il professore avrebbe potuto specificare che aveva in mente anche \(a=-\infty\) e \(b=+\infty\), ok, ma a parte questo non mi pare il caso di crocifiggerlo così
Non lo sto crocefiggendo, stavo cercando chiarimenti.
Perché alla prof. dissi il mio disappunto e mi ha replicando che chiedeva che gli intervalli dell’Unione contenessero l’estremo inferiore. Avendo le idee più chiare ho come sostenere una discussione potendo argomentare la tesi, ma era lontano dal voler screditare
Perché alla prof. dissi il mio disappunto e mi ha replicando che chiedeva che gli intervalli dell’Unione contenessero l’estremo inferiore. Avendo le idee più chiare ho come sostenere una discussione potendo argomentare la tesi, ma era lontano dal voler screditare
"anto_zoolander":
mi ha replicando che chiedeva che gli intervalli dell’Unione contenessero l’estremo inferiore.
Ah si? Questo ti ha risposto? Non è questo il punto, hai ragione. Forse lei dà per scontato che \(a\) e \(b\) possono essere infiniti.
Non era mia intenzione crocifiggerlo. 
Per quanto riguarda la questione sull'unione finita, io farei un po' lo gnorri considerando:
$\bigcup_{k=1}^{n}A_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$
con $A_k=\emptyset$ per $k>n$.
Per quanto riguarda la questione sull'unione finita, io farei un po' lo gnorri considerando:$\bigcup_{k=1}^{n}A_k=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$
con $A_k=\emptyset$ per $k>n$.
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