2 esercizi

[tgrammer]

sto cercando di fare lo sviluppo di $ f(z)=z/(1-cos(z)) $ per trovare le singolarità della funzioni ma non riesco a trovare lo giusto sviluppo che sarebbe: $ 2/z+z/6+z^3/120+O(z^5) $
Potreste dirmi cosa sbaglio?
io sviluppo il coseno al denominatore:
 $ z/(1-[1-z^2/2+z^4/(4!)+O(z^6))]=z/((z^2/2)+z^4/(4!)+O(z^6)) $


ho difficoltà a capire anche quali siano le singolarità per la funzione $ e^{sen(1/z)} $
Ho trovato lo sviluppo della funzione, che è $ 1+1/z+O(1/z^2) $ usando gli sviluppi noti di taylor del seno e dell’esponenziale.
avendo potenze solo di z, lo sviluppo è quello di Laurent, quindi posso trarre conclusioni su $ z=oo $ e $ z=0 $ da questo stesso sviluppo e vedo che l’infinito è una singolarità eliminabile dal momento che $ lim_{z->oo}=1 $
Invece lo zero è una singolarità essenziale perché ho infinite potenze negative di z.

potete dirmi se è giusto/aiutarmi? grazie infinite

[pilloeffe]

Ciao tgrammer,

Per la prima osserverei che $\lim_{z \to 0} \frac{z^2}{1 - cos z} = 2 $, pertanto la funzione $g(z) = z f(z) $ ammette uno sviluppo in serie di Taylor del tipo seguente:

$z^2/(1 - cos z) = A_0 + A_2 z^2 + A_4 z^4 + ... $

con $A_0 = 2 $, per cui si ha:

$ z^2 = (2 + A_2 z^2 + A_4 z^4 + ... )(1 - cos z) $

Sfruttando il principio di identità dopo qualche calcolo si trova lo sviluppo in serie seguente:

$g(z) = z f(z) = 2 + z^2/6 + z^4/120 + O(z^6) $

Da cui, dividendo per $z$:

$f(z) = 2/z + z/6 + z^3/120 + O(z^5) $

[tgrammer]

ho capito quello che mi hai spiegato, tuttavia ti chiedo se c'è un modo alternativo per arrivare al risultato dal momento che quello che mi hai scritto non mi sarebbe venuto in mente. ad esempio, mi chiedo come mai il procedimento che stavo seguendo io non è giusto.

ps. suggerimenti sul secondo esercizio mi sarebbero ancora d'aiuto

[gugo82]

Per il resto, sembra giusto.

Ma posso sapere perché tronchi gli sviluppi?
Come fai a dedurre da uno sviluppo troncato se una singolarità è polare o essenziale?