1-forme definite su spazio $RR^n$

[cianfa72]

Ciao,

un dubbio su quanto segue. Consideriamo una 1-forma $\omega$ definita su uno spazio $RR^n$ (ovvero un campo di covettori) che soddisfa la condizione $d\omega = dh \wedge \omega$ per qualche funzione $h$.

Domanda: esiste sempre una coppia di funzioni $f$ e $g$ tale che si possa scrivere $\omega=fdg$ ?

Grazie.

NB La condizione $d\omega = dh \wedge \omega$ e' equivalente localmente (in forza del lemma di Poincarè per cui una forma chiusa e' localmente esatta) alla condizione di Frobenius $\omega \wedge d\omega=0$

[megas_archon]

E' una considerazione molto da retro della busta, quindi prendila meno che seriamente, ma se $f,g$ come sopra esistono, allora \(df\land dg\) deve fare zero; in \(\mathbb R^n\), questo è vero (la coomologia di de Rham di \(\mathbb R^n\) è banale...) ma non su un manifold a caso.

[cianfa72]

"megas_archon":ma se $f,g$ come sopra esistono, allora \(df\land dg\) deve fare zero; in \(\mathbb R^n\), questo è vero (la coomologia di de Rham di \(R^n\) è banale...) ma non su un manifold a caso.

Scusa, una 1-forma $\omega$ del tipo $\omega=fdg$ e' sempre nella forma $d\omega = dh \wedge \omega$ con $h=lnf$.
Infatti $d\omega = df \wedge dg = \frac {df} {f} \wedge f dg$.

Perche' dici che $df \wedge dg$ deve esser nullo ?

[megas_archon]

Sì, quello che ho detto è sbagliato, ma anche quello che hai scritto tu per trovare $h$: $f$ deve essere diversa da zero per scrivere \(\log f\)!

[cianfa72]

"megas_archon":$f$ deve essere diversa da zero per scrivere \(\log f\)!

ok, ma $f$ deve essere diversa da zero altrimenti $\omega=0$ (ovvero $\omega$ e' la 1-forma nulla).

[megas_archon]

Intendo che $f$ non deve annullarsi mai, altrimenti \(\log f\) non è definita

[cianfa72]

Si certo. Comunque ho aperto un altro thread dove in effetti sembra di poter dimostrare Frobenius utilizzando il lemma di Poincarè per le forme chiuse.

E' nella sezione Geometria e Algebra lineare.