Un dubbio sul metodo di Newton
Salve. Premetto che non so se questo sia la sezione corretta, dato che la domanda potrebbe benissimo essere vista come un argomento di Analisi 1, tuttavia il dubbio mi è sorto durante il corso di laboratorio di programmazione e calcolo numerico.
Mentre studiavamo il metodo di Newton delle tangenti, ci è stato detto che nel caso in cui una radice sia di molteplicità 1, ovvero tale che annulla la funzione ma non la sua derivata, il metodo ha un ordine di convergenza quadratico, mentre se ha molteplicità pari a 2, l'ordine diventa lineare. Per dimostrare ciò, la professoressa ha detto che una funzione derivabile $\mu$ volte con $\alpha$ una radice di molteplicità $\mu$ (ovvero che annulla tutte le derivate fino alla $(\mu -1)$-esima, si può scrivere come $h(x)*(x-\alpha)^(\mu)$ dove $\alpha$ non è radice per $h(x)$. Tuttavia, ciò mi sembra strano, infatti ho pensato alla funzione $f(x)=e^x-x-1$, che ha $0$ come radice di molteplicità $2$ e non mi viene un modo per scrivere $f(x)$ in quella forma e in modo tale da valutare la funzione $g(x)=x-(f(x))/(f'(x))$ e le sue derivate prime e seconde in ogni intorno bucato di $\alpha$ (perchè ovviamente in $\alpha$ presenta un problema). Inizialmente avevo pensato alla sviluppo di Taylor con resto di Lagrange, ma alla fine mi è sembrata errata come scelta. Se non vi reca disturbo, qualcuno potrebbe togliermi questo dubbio?
Mentre studiavamo il metodo di Newton delle tangenti, ci è stato detto che nel caso in cui una radice sia di molteplicità 1, ovvero tale che annulla la funzione ma non la sua derivata, il metodo ha un ordine di convergenza quadratico, mentre se ha molteplicità pari a 2, l'ordine diventa lineare. Per dimostrare ciò, la professoressa ha detto che una funzione derivabile $\mu$ volte con $\alpha$ una radice di molteplicità $\mu$ (ovvero che annulla tutte le derivate fino alla $(\mu -1)$-esima, si può scrivere come $h(x)*(x-\alpha)^(\mu)$ dove $\alpha$ non è radice per $h(x)$. Tuttavia, ciò mi sembra strano, infatti ho pensato alla funzione $f(x)=e^x-x-1$, che ha $0$ come radice di molteplicità $2$ e non mi viene un modo per scrivere $f(x)$ in quella forma e in modo tale da valutare la funzione $g(x)=x-(f(x))/(f'(x))$ e le sue derivate prime e seconde in ogni intorno bucato di $\alpha$ (perchè ovviamente in $\alpha$ presenta un problema). Inizialmente avevo pensato alla sviluppo di Taylor con resto di Lagrange, ma alla fine mi è sembrata errata come scelta. Se non vi reca disturbo, qualcuno potrebbe togliermi questo dubbio?
Risposte
Forse non ho capito il problema o la domanda, ma questo non andrebbe bene ?
In fondo e' quello che dice la tua prof.
$ f(x) = e^x -x -1 = x^2 / {2!} + x^3 / {3!} + x^4 / {4!} + ... = (1/ {2!} + x / {3!} + x^2 / {4!} + ... ) x^2 = h(x) (x-\alpha)^\mu$
In fondo e' quello che dice la tua prof.
$ f(x) = e^x -x -1 = x^2 / {2!} + x^3 / {3!} + x^4 / {4!} + ... = (1/ {2!} + x / {3!} + x^2 / {4!} + ... ) x^2 = h(x) (x-\alpha)^\mu$
Ah, effettivamente, poichè quella serie converge uniformemente posso prenderla come funzione, tuttavia mi chiedo come si potrebbe fare se la mia $f$ non fosse analitica ma di classe $C^(\mu)$.
Ma basta dividere per $(x-\alpha)^\mu$ e prolungare per continuità in $\alpha$.
Ora mi chiedo come abbia fatto a passare Analisi 1...Grazie per aver risposto.
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