Teorema di Bauer-Fike

[Mario9011]

Ciao a tutti!
Ho un dubbio sull'interpretazione del teorema di Bauer-Fike. Questo afferma che:

Data $ A in mathbb(C)^(N times N) $ matrice diagonalizzabile (quindi $ A = S D S^(−1) $ e $ D $ matrice diagonale contenente gli autovalori $ lambda_1,...,lambda_N $ di $ A $), se $ hat(lambda)_i $ è autovalore di $
A + E $, allora

$ min_(j = 1,...,N) | hat(lambda)_i - lambda_j | leq k(S) || E || $

dove $ k(S) $ è il numero di condizione di $ S $ e $ || cdot || $ è una norma indotta.

Su un paio di testi questo teorema viene enunciato in questa altra forma (i simboli hanno lo stesso significato di prima):

Data $ A in mathbb(C)^(N times N) $ matrice diagonalizzabile, allora

$ AA lambda_j EE hat(lambda)_i : | hat(lambda)_i - lambda_j | leq k(S) || E || $

Il problema è che non mi sembra che i due enunciati siano equivalenti. Il primo identifica un limite alla distanza che c'è tra un qualunque autovalore $ hat(lambda)_i $ di $ A + E $ e l'autovalore di $ A $ più vicino a $ hat(lambda)_i $. Il secondo invece identifica un limite alla distanza tra un autovalore di $ A + E $ e qualunque autovalore di $ A $. Il secondo enunciato è effettivamente un'impropria riscrittura del primo? Grazie

[j18eos]

...ma com'è definita la matrice \(E\in\mathbb{C}^{N\times N}\)?

[Mario9011]

Non mi pare che il teorema ponga condizioni sulla matrice $ E $. È una matrice che "perturba" $ A $, ma senza proprietà speciali

[j18eos]

Non l'avevi specificato!

[Mario9011]

Forse è il caso che la mia domanda sia spostata nella sezione di Analisi Numerica. Però vedo che l'interfaccia non mi da la possibilità di cancellare o spostare questo messaggio. Qualcuno sa come si fa?

[j18eos]

[xdom="j18eos"]Sposto su richiesta dell'autore.[/xdom]