Sulla convergenza di un metodo iterativo

[gianpie1]

Salve sto svolgendo il seguente esercizio:

Dato il sistema lineare

[tex]Ax = b[/tex]
con

[tex]a_{ij}=\left\{\begin{matrix}
1 & i = j\\
c & i \neq j
\end{matrix}\right.[/tex]

Si costruisca la matrice di iterazione del metodo di Jacobi per [tex]n=3[/tex] e si dica per quali valori di [tex]c[/tex] il metodo converge.

Il metodo di Jacobi prevede di scomporre la matrice A in questo modo:
[tex]A = D - E - F[/tex]
D è una matrice diagonale con elementi sulla diagonale uguali a quelli di A.
E è una matrice triangolare superiore con diagonale nulla
F è una matrice triangolare inferiore con diagonale nulla.

Le Matrici dunque sono

[tex]\begin{pmatrix}
1 & c & c\\
c & 1 & c\\
c & c & 1
\end{pmatrix} = I - \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
-c & 0 & 0\\
-c & -c & 0
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
0 & -c & -c\\
0 & 0 & -c\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/tex]

Il sistema viene riscritto come segue

[tex]x = D^{-1}(E+F)x + D^{-1}b = Hx + c[/tex]

poichè [tex]D^{-1} = D = I[/tex] allora la matrice di iterazione è
[tex]H=E+F = \begin{pmatrix}
0 & -c & -c\\
-c & 0 & -c\\
-c & -c & 0
\end{pmatrix}[/tex]

Il metodo converge se il raggio spettrale ( l'autovalore con valore assoluto massimo) è minore di uno

[tex]\rho(H)<1[/tex]

quindi procedo con il calcolo degli autovalori della matrice H.

[tex]det(H-\lambda I) = det\begin{pmatrix}
-\lambda & -c & -c\\
-c & -\lambda & -c\\
-c & -c & -\lambda
\end{pmatrix} = 0[/tex]

ma qui mi blocco perchè il polinomio caratteristico mi viene

[tex]- \lambda ^3 - 2c^3 + 3c^2\lambda = 0[/tex]


Sapreste aiutarmi o indicarmi come procedere ??

[gianpie1]

"TeM":Procedi fattorizzando ...
\[ - \lambda^3 - 2c^3 + 3c^2\lambda = - (\lambda+2c)(\lambda-c)^2 \]

Gli autovalori dunque sono

[tex]\lambda_1 = -2c[/tex]
e
[tex]\lambda_2 = c[/tex] con molteplcità 2

Il raggio spettrale è l'autovalore con modulo massimo quindi
[tex]\rho(H) = 2|c|[/tex]

che è minore di uno se

[tex]-\frac{1}{2} < c < \frac{1}{2}[/tex]

posso affermare che il metodo converge se c è compreso fra questi due valori ?

[gianpie1]

Grazie mille ! ho inserito un altro post ... potresti aiutarmi ?