Strutture
Chiedo conferma per questa banalita': Quali sono gli elementi regolari di $NN$ per la legge $(x,y)tox^y$? Direi $n in [2,infty)$.
Poi, chi sono l'unita' e gli elementi simmetrizzabili nella struttura $(M(A,A),@)$? $M(A,A)$ e' l'insieme delle funzioni da $A$ in $A$, e $@$ e' la funzione composta.
Poi, chi sono l'unita' e gli elementi simmetrizzabili nella struttura $(M(A,A),@)$? $M(A,A)$ e' l'insieme delle funzioni da $A$ in $A$, e $@$ e' la funzione composta.
Risposte
Ci aggiungo anche questa: descrivere i sottogruppi ciclici del gruppo delle rotazioni di un piano attorno ad un suo punto $O$.
"Crook":
Chiedo conferma per questa banalita': Quali sono gli elementi regolari di $NN$ per la legge $(x,y)tox^y$? Direi $n in [2,infty)$.
Poi, chi sono l'unita' e gli elementi simmetrizzabili nella struttura $(M(A,A),@)$? $M(A,A)$ e' l'insieme delle funzioni da $A$ in $A$, e $@$ e' la funzione composta.
Provo a chiedere di nuovo.
"Crook":
Chiedo conferma per questa banalita': Quali sono gli elementi regolari di $NN$ per la legge $(x,y) \to x^y$? Direi $n in [2,infty)$.
Non capisco... Per quel che ne so io, gli elementi regolari sono definiti unicamente sui semigruppi. E la tua struttura è a mala pena un gruppoide, visto che in generale $(x^y)^z \ne {x^{y^z}}$... Ma forse la definizione di elemento regolare a cui io sto pensando non è la stessa a cui stai pensando tu! Perciò cos'è che pensi?
Intendo: l'elemento $a in NN$ è regolare se ciascuna delle uguaglianze:
$(a,x)=(a,y),(x,a)=(y,a)$, comporta che sia $x=y$.
Quindi in questo caso sarebbe $a^x=a^y,x^a=y^a$, ed ognuna comporta $x=y$. O sbaglio?
$(a,x)=(a,y),(x,a)=(y,a)$, comporta che sia $x=y$.
Quindi in questo caso sarebbe $a^x=a^y,x^a=y^a$, ed ognuna comporta $x=y$. O sbaglio?
"Crook":
Intendo: l'elemento $a in NN$ è regolare se ciascuna delle uguaglianze:
$(a,x)=(a,y),(x,a)=(y,a)$, comporta che sia $x=y$.
Quindi in questo caso sarebbe $a^x=a^y,x^a=y^a$, ed ognuna comporta $x=y$. O sbaglio?
Se è così, non sbagli: $a\in NN$ è regolare sse $a > 1$.
"Crook":
Chi sono l'unita' e gli elementi simmetrizzabili nella struttura $(M(A,A),@)$? $M(A,A)$ e' l'insieme delle funzioni da $A$ in $A$, e $@$ e' la funzione composta.
Un'unità è la funzione $A \to A: x \to x$, ed è anche la sola. Se infatti $f,g \in M(A,A)$ sono tali per cui $f @ h = g @ h = h$, per ogni $h \in M(A,A)$, allora in particolare $g = f @ g = f @ f = f$. Gli elementi simmetrizzabili, d'altronde, sono le permutazioni di $A$, i.e. le funzioni biunivoche $A \to A$.
"DavidHilbert":
[quote="Crook"]Intendo: l'elemento $a in NN$ è regolare se ciascuna delle uguaglianze:
$(a,x)=(a,y),(x,a)=(y,a)$, comporta che sia $x=y$.
Quindi in questo caso sarebbe $a^x=a^y,x^a=y^a$, ed ognuna comporta $x=y$. O sbaglio?
Se è così, non sbagli: $a\in NN$ è regolare sse $a > 1$.[/quote]
Ok, grazie. La definizione di elemento regolare che ho dato è presa da Matematica Moderna, di Mario Villa. Ci sono più definizioni di elemento regolare?
"DavidHilbert":
Gli elementi simmetrizzabili, d'altronde, sono le permutazioni di $A$, i.e. le funzioni biunivoche $A \to A$.
Come si può argomentare questo? Cioè perché una funzione iniettiva non può essere eimmetrizzabile?
"Crook":
Ok, grazie. La definizione di elemento regolare che ho dato è presa da Matematica Moderna, di Mario Villa. Ci sono più definizioni di elemento regolare?
In un semigruppo $(G,*)$, un elemento $a \in G$ si dice regolare se $a = a*b*a$, e completamente regolare se $a*b = b*a$, per qualche $b \in G$. Certo, adesso che ci penso, nulla vieta, in linea di principio, di estendere questa stessa definizione ad un gruppoide. E però quel che se ne ottiene non ha nulla a che vedere, almeno in generale, con la definizione riportata - a tuo dire - sul Villa. Basti osservare, per es., che nel caso specifico del problema da te proposto, per ogni $a,b \in NN$: $a*b*a = a$ sse $a^{ab} = a$, i.e. per uno o due valori al più di $a$, a seconda del significato convenzionalmente attribuito al simbolo $0^0$.
"Crook":
[quote="DavidHilbert"]Gli elementi simmetrizzabili, d'altronde, sono le permutazioni di $A$, i.e. le funzioni biunivoche $A \to A$.
Come si può argomentare questo? Cioè perché una funzione iniettiva non può essere simmetrizzabile?[/quote]
Se $f \in M(A,A)$ è simmetrizzabile (vs l'operazione @), esiste $g \in M(A,A)$ tale che $f @ g = g @ f = id_X$, dove $id_X$ è l'identità su X. Per assurdo, f non sia iniettiva. Allora esistono $x,y \in A$ tali che $x \ne y$ ed $f(x) = f(y)$, di modo che $x = (g @ f)(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = (g @ f)(y) = y$, assurdo! Analogamente, f non sia suriettiva. Allora esiste $y \in A$ tale che, per ogni $x \in X$: $f(x) \ne y$. Perciò, in particolare: $y \ne f(g(y)) = (f @ g)(y) = y$, di nuovo assurdo!
"DavidHilbert":
[quote="Crook"][quote="DavidHilbert"]Gli elementi simmetrizzabili, d'altronde, sono le permutazioni di $A$, i.e. le funzioni biunivoche $A \to A$.
Come si può argomentare questo? Cioè perché una funzione iniettiva non può essere simmetrizzabile?[/quote]
Se $f \in M(A,A)$ è simmetrizzabile (vs l'operazione @), esiste $g \in M(A,A)$ tale che $f @ g = g @ f = id_X$, dove $id_X$ è l'identità su X. Per assurdo, f non sia iniettiva. Allora esistono $x,y \in A$ tali che $x \ne y$ ed $f(x) = f(y)$, di modo che $x = (g @ f)(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = (g @ f)(y) = y$, assurdo! Analogamente, f non sia suriettiva. Allora esiste $y \in A$ tale che, per ogni $x \in X$: $f(x) \ne y$. Perciò, in particolare: $y \ne f(g(y)) = (f @ g)(y) = y$, di nuovo assurdo![/quote]
Grazie, non riuscivo a trovare il procedimento giusto. Spero di non avere più difficoltà con questo genere di problemi. Un'ultima cosa sull'ultima dimostrazione: $X$ come è definito?
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