Stima dell'errore a priori nel metodo del punto unito
Salve, avrei bisogno di un aiuto nel risolvere questo esercizio, che è già svolto sul libro di esercizi ma difficilmente interpretabile per qualto riguarda un certo discorso che fa sul numero di iterate necessarie ad ottenere la soluzione. Dunque ecco qua:
1.1 : Risolvere numericamente l'equazione:
$ f(x) = x arctan x - 1 = 0 $
1) Separando le radici graficamente.
2) Applicando il teorema del punto unito.
3) Applicando il metodo delle tangenti.
Il problema è al punto 2, e vi riporto tutto con le testuali parole del libro (devo farlo altrimenti poi mi chiedete il resto):
"La successione generata da questa funzione di iterazione (in tal caso $ varphi (x) = 1/arctan x $ ) converge lentamente, le approssimazioni sono per difetto e per eccesso alternativamente; risulta pertanto $ |x_n - xi | <= |x_n - x_(n-1)| $. Posto $ x_0 = 1.25 $ si ottengono le iterate (l'intervallo di separazione della radice è [1, 1.5]) :
$x_1 = 1.116002445,$$x_2 = 1.190242605$
.............. ..............
$x_21 = 1.162339097,$ $x_22 = 1.162340256$
Dunque:
$ |x_22 - xi| <= |x_22 - x_21| ~= 0.12 *10^(-5) $
Se invece si deduce il numero delle iterate sufficiente ad assicurare che risulti $ |x_n - xi| <= 0.5 *10^(-5) $ dalla più pessimistica stima $ |x_n - xi| <= k^n |x_0 -xi| $ , dai dati si ricava n>= 55."
Ora la mia domanda è: ma non era $ |x_n - xi| <= k^n/(1-k) |x_1 - x_0| $ ? (perchè la teoria dice questo). Vorrei sapere inoltre perchè usa la stima del caso peggiore (o più pessimistica come la chiama).
1.1 : Risolvere numericamente l'equazione:
$ f(x) = x arctan x - 1 = 0 $
1) Separando le radici graficamente.
2) Applicando il teorema del punto unito.
3) Applicando il metodo delle tangenti.
Il problema è al punto 2, e vi riporto tutto con le testuali parole del libro (devo farlo altrimenti poi mi chiedete il resto):
"La successione generata da questa funzione di iterazione (in tal caso $ varphi (x) = 1/arctan x $ ) converge lentamente, le approssimazioni sono per difetto e per eccesso alternativamente; risulta pertanto $ |x_n - xi | <= |x_n - x_(n-1)| $. Posto $ x_0 = 1.25 $ si ottengono le iterate (l'intervallo di separazione della radice è [1, 1.5]) :
$x_1 = 1.116002445,$$x_2 = 1.190242605$
.............. ..............
$x_21 = 1.162339097,$ $x_22 = 1.162340256$
Dunque:
$ |x_22 - xi| <= |x_22 - x_21| ~= 0.12 *10^(-5) $
Se invece si deduce il numero delle iterate sufficiente ad assicurare che risulti $ |x_n - xi| <= 0.5 *10^(-5) $ dalla più pessimistica stima $ |x_n - xi| <= k^n |x_0 -xi| $ , dai dati si ricava n>= 55."
Ora la mia domanda è: ma non era $ |x_n - xi| <= k^n/(1-k) |x_1 - x_0| $ ? (perchè la teoria dice questo). Vorrei sapere inoltre perchè usa la stima del caso peggiore (o più pessimistica come la chiama).
Risposte
Dunque penso di aver risolto da solo, dunque rispondo giusto per charire nel caso qualcuno riscontrasse lo stesso problema.
Innanzitutto devo dire che se $ -1
Innanzitutto devo dire che se $ -1
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