Stabilità Forward Euler Method
Salve ragazzi, in allegato c'è un esercizio che ho trovato sul mio libro. Non riesco a capire alcuni passaggi in particolare quello sottolineato. C'è qualcuno di buona volontà che potrebbe spiegarmelo. Grazie 
Ecco il passaggio che non si vedeva bene:
L'obiettivo è quello di dimostrare che il metodo è condizionatamente stabile. Non riesco a comprendere il significato del passaggio indicato
Ecco il passaggio che non si vedeva bene:
L'obiettivo è quello di dimostrare che il metodo è condizionatamente stabile. Non riesco a comprendere il significato del passaggio indicato
Risposte
Ragazzziiii,nessuno ha voglia di provare ad aiutarmi??? plaease
\[
|u^j_{i+1}| \le \max_i |u^j_i|.
\]
Non vedo come tale affermazione possa metterti in difficoltà.
|u^j_{i+1}| \le \max_i |u^j_i|.
\]
Non vedo come tale affermazione possa metterti in difficoltà.
Grazie per avermi risposto Raptorista,cerco di spiegarmi meglio. L'espressione 1 è la formula dell'errore(ricavata come differenza tra due soluzione approssimate una con arrotondamento e l'altra senza ,mi conformi?). Si passa dalla 1 alla 2,introducendo il valore assoluto( credo in base alla disuguaglianza triangolare ,mi conformi?). Non ho ben chiaro la logica dell'esempio riportato,perchè in base a quei passaggi posso ritenere che l'errore non cresce negli step successivi?
Di che cosa stai parlando?? (1) è la formula di aggiornamento, (2) è la condizione al contorno.
scusami con 2 intendevo questa:
In base a quale proprietà passa dalla 1 a questa? Disuguaglianza triangolare?!?! Perchè si può affermare che il metodo è condizionatamente stabile in base a quei passaggi? Queste due cose che non capisco. Grazie per la pazienza
In base a quale proprietà passa dalla 1 a questa? Disuguaglianza triangolare?!?! Perchè si può affermare che il metodo è condizionatamente stabile in base a quei passaggi? Queste due cose che non capisco. Grazie per la pazienza
Per cominciare, hai una qualche idea di cosa significa che un metodo è stabile?
"Raptorista":
Per cominciare, hai una qualche idea di cosa significa che un metodo è stabile?
Se tipo si verifica un errore in un punto della grigia,questo tende a smorzarsi nelle righe successive del processo di calcolo e non ad aumentare. Concettualmente questo ho capito...sbaglio?
"Dino86":
Concettualmente questo ho capito...sbaglio?
Questo cosa?? Quello che hai scritto non ha alcun senso.
Ti consiglio di dare una bella rinfrescata alla teoria.
Grazie del consiglio,sul mio libro c'è scritto questo: The computing phase is inevitably affected by errors,a stable algorithm tries to vanish rather than to grow any error wich is committed. Denote by u the solution of a special finite-difference problem and suppose that an error,say e,occurs at the grid point(h,k). Clearly,the error propogates to the next rows in the computing process.
Dopodichè usando la formula che ho indicato con 1 in cui pone r =$1/2$ dove $ r=alpha Delta t\\ Delta x^2 $ ,si calcola l'errore in un punto al rigo j+1,j+2,j+3 e scrive: Notice a decreasing evolution of the error,which tends to dramp out.
Avevo capito che siccome questo errore indicato con "e" diminuiva diventando nelle righe successive $e/2$....$e/8$ si poteva affermare che il metodo era stabile per r=$1/2$
Così ha piu senso oppure non ci ho capito una mazza??
Dopodichè usando la formula che ho indicato con 1 in cui pone r =$1/2$ dove $ r=alpha Delta t\\ Delta x^2 $ ,si calcola l'errore in un punto al rigo j+1,j+2,j+3 e scrive: Notice a decreasing evolution of the error,which tends to dramp out.
Avevo capito che siccome questo errore indicato con "e" diminuiva diventando nelle righe successive $e/2$....$e/8$ si poteva affermare che il metodo era stabile per r=$1/2$
Così ha piu senso oppure non ci ho capito una mazza??
Non c'è una definizione di stabilità da qualche parte? Mi sa che è il caso di cambiare libro.
A che corso di laurea sei iscritto? Che esame devi fare?
A che corso di laurea sei iscritto? Che esame devi fare?
Modelli e metodi numerici per l'ingegneria
usando la formula che ho indicato con 1 in cui pone r =$1/2$ dove r=αΔt\Δx2 ,si calcola l'errore in un punto al rigo j+1,j+2,j+3 e scrive: Notice a decreasing evolution of the error,which tends to dramp out.
Avevo capito che siccome questo errore indicato con "e" diminuiva diventando nelle righe successive $e/2$....$e/8$ si poteva affermare che il metodo era stabile per r=$1/2$
Così ha piu senso oppure non ci ho capito una mazza??
usando la formula che ho indicato con 1 in cui pone r =$1/2$ dove r=αΔt\Δx2 ,si calcola l'errore in un punto al rigo j+1,j+2,j+3 e scrive: Notice a decreasing evolution of the error,which tends to dramp out.
Avevo capito che siccome questo errore indicato con "e" diminuiva diventando nelle righe successive $e/2$....$e/8$ si poteva affermare che il metodo era stabile per r=$1/2$
Così ha piu senso oppure non ci ho capito una mazza??
Il libro è questo: Computational Partial Differential Equations for Engineering Science di D'Acunto B. Non voglio denigrare il libro,magari è un ottimo libro e sono io che sono un pessimo studente. Sono condizionato anche dal fatto che non ho una padronanza assoluta dell'inglese
Ha un po' più senso, ma è comunque sbagliato.
Non mi piace la definizione del tuo libro, che tra l'altro non è una vera definizione. Dovresti cercarne un altro.
Concettualmente, un metodo numerico si dice stabile se "non toccandolo, non esplode". In termini più matematici, la norma della soluzione rimane limitata in funzione dei dati del problema; ora, i dati del problema tipicamente sono la condizione iniziale e la forzante [al bordo tutto a zero, per semplicità].
In questo modo, la stabilità si ottiene da una disuguaglianza del tipo
\[
||u_i^{j+1}||^2 \le C (||u_j^i||^2 + ||f||^2)
\]
dove \(C\) è una qualche costante e \(||\cdot||\) indica una qualche norma appropriata per il problema.
Nel tuo caso \(f = 0\) e quindi devi solo preoccuparti che, per qualunque condizione iniziale, la soluzione non esploda ad un qualche istante successivo.
Questo ti richiederebbe di verificare che \(||u^{j+1}_i|| \le C ||u^{0}_i||\), ma in questo caso facile facile si riesce addirittura a dimostrare che \(||u^{j+1}_i|| \le C ||u^{j}_i||\), ma allora la stabilità è ovvia perché se ogni iterazione è minore della precedente allora sono tutte minori della prima.
Non mi piace la definizione del tuo libro, che tra l'altro non è una vera definizione. Dovresti cercarne un altro.
Concettualmente, un metodo numerico si dice stabile se "non toccandolo, non esplode". In termini più matematici, la norma della soluzione rimane limitata in funzione dei dati del problema; ora, i dati del problema tipicamente sono la condizione iniziale e la forzante [al bordo tutto a zero, per semplicità].
In questo modo, la stabilità si ottiene da una disuguaglianza del tipo
\[
||u_i^{j+1}||^2 \le C (||u_j^i||^2 + ||f||^2)
\]
dove \(C\) è una qualche costante e \(||\cdot||\) indica una qualche norma appropriata per il problema.
Nel tuo caso \(f = 0\) e quindi devi solo preoccuparti che, per qualunque condizione iniziale, la soluzione non esploda ad un qualche istante successivo.
Questo ti richiederebbe di verificare che \(||u^{j+1}_i|| \le C ||u^{0}_i||\), ma in questo caso facile facile si riesce addirittura a dimostrare che \(||u^{j+1}_i|| \le C ||u^{j}_i||\), ma allora la stabilità è ovvia perché se ogni iterazione è minore della precedente allora sono tutte minori della prima.
Grazie per la spiegazione,scusami per la domanda banale ma cosa indichi con "u"? Perchè sul mio libro nel paragrafo in cui parla della stabilità indica con u la differenza tra la right solution and the solution perturbed by a rounding error arising at the initial time. Pensavo che questa differenza fosse appunto l'errore.
\(u\) è la soluzione, sempre XD
Quella cosa che hai scritto tu, premesso che ancora non mi è chiaro cosa sia, mi sembra solo una inutile fonte di confusione. L'errore si denota con \(e\) di soltito, mi sembra assurdo usare ancora la lettera \(u\).
Quella cosa che hai scritto tu, premesso che ancora non mi è chiaro cosa sia, mi sembra solo una inutile fonte di confusione. L'errore si denota con \(e\) di soltito, mi sembra assurdo usare ancora la lettera \(u\).
Infatti anche a me mette in confusione che a volte usa la stessa notazione per l'errore e per la soluzione. Per completezza ecco cosa è riportato sul mio libro:
Se ho capito bene a differenza tua il libro fa l'analisi di stabilità considerando la differenza di quelle due soluzioni. E' la stessa cosa?
Se ho capito bene a differenza tua il libro fa l'analisi di stabilità considerando la differenza di quelle due soluzioni. E' la stessa cosa?
Fa il giochino della differenza solo per annullare il termine di sorgente, è inessenziale ai fini del concetto.
Grazie mille 
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