Sistemi non lineari e contrazione punto fisso
Salve Ragazzi, sono nuova, ho 23 anni e studio informatica e precisamente in questo periodo mi ritrovo a studiare lo scoglio calcolo numerico e aimè...nun ci capisco na mazza!!! Ho trovato queste slide in giro per internet e mi rivolgo a voi per 2 quesiti: uno è il seguente 
se non lo vedete bene il link è : http://s17.postimage.org/jflaplru7/contrazione.jpg
Non riesco a capire il teorema, qualche anima buona sarebbe in grado di spiegarmi cosa significa e che cosa mi vuole dire questa slide?
L'altra domanda è: nei sistemi non lineari F(x) = 0, com'è possibile che il vettore [x0,x1,...,xn] sia trasposto e cioè che sia un vettore colonna? Non capisco allora com'è fatta la matrice F...spero di essermi fatta capire e che ci sia qualcuno che può rispondermi.
Ciaoooooooooooooooooooooooooooooo!!!
se non lo vedete bene il link è : http://s17.postimage.org/jflaplru7/contrazione.jpg
Non riesco a capire il teorema, qualche anima buona sarebbe in grado di spiegarmi cosa significa e che cosa mi vuole dire questa slide?
L'altra domanda è: nei sistemi non lineari F(x) = 0, com'è possibile che il vettore [x0,x1,...,xn] sia trasposto e cioè che sia un vettore colonna? Non capisco allora com'è fatta la matrice F...spero di essermi fatta capire e che ci sia qualcuno che può rispondermi.
Ciaoooooooooooooooooooooooooooooo!!!
Risposte
Ciao nuova 
Prima di darti la risposta [perché poi perderò la tua attenzione] ti chiedo gentilmente di evitare messaggi contenenti immagini come questo, perché dopo un po' verranno cancellate dal server di host che hai usato ed il messaggio rimarrà illeggibile. Piuttosto, riporta l'enunciato del teorema o, in casi come questo in cui il teorema è noto ai più, anche un link a wiki.
Venendo a noi: il teorema delle contrazioni dice una cosa semplice.
Prendi una funzione che in un certo punto \(x_0\) ha derivata prima strettamente minore di uno in modulo, \(|f'(x_0)| < 1\). Per fissare le idee, prendiamo \(f'(x_0) = 0.5\).
Questo cosa significa esattamente? Significa che se prendo un intorno \(I\) di \(x_0\) "abbastanza piccolo" [la derivata è un concetto locale e qui sfrutto la continuità della derivata] allora la sua immagine \(f(I)\) è un intorno di \(f(x_0)\) di misura [lunghezza] circa dimezzata rispetto a \(I\). Ti torna questo concetto? Pensa alla retta \(y = \frac x 2\): l'intervallo \((0,2)\) viene mandato nell'intervallo \((0,1)\).
Capito questo, il più è fatto! Infatti se io applico ancora la stessa funzione al nuovo intervallo, ne ottengo uno ancora più piccolo, e così via all'infinito.
Allora qui salta fuori il teorema delle contrazioni, che ti dice che se prendi un punto \(x\) appartenente ad un intervallo in cui la derivata della funzione è minore di \(1\) in modulo, allora applicando a ripetizione la funzione il punto si avvicinerà al punto fisso della funzione.
Un rapido esempio: \(f(x) = \sqrt x\), punto fisso \(\tilde x = 1\), intervallo di partenza \((\frac 1 2 , 8)\).
Applicando la funzione vedi che \(f((\frac 1 2 , 8)) = (\frac 1 {\sqrt 2}, 4)\).
Applicando ancora: \(f((\frac 1 {\sqrt 2}, 4)) = (2^{-\frac 1 4}, 2)\) e così via, il tuo intervallo collassa su \(1\), e così fa ogni punto che appartiene ad esso.
Prima di darti la risposta [perché poi perderò la tua attenzione] ti chiedo gentilmente di evitare messaggi contenenti immagini come questo, perché dopo un po' verranno cancellate dal server di host che hai usato ed il messaggio rimarrà illeggibile. Piuttosto, riporta l'enunciato del teorema o, in casi come questo in cui il teorema è noto ai più, anche un link a wiki.
Venendo a noi: il teorema delle contrazioni dice una cosa semplice.
Prendi una funzione che in un certo punto \(x_0\) ha derivata prima strettamente minore di uno in modulo, \(|f'(x_0)| < 1\). Per fissare le idee, prendiamo \(f'(x_0) = 0.5\).
Questo cosa significa esattamente? Significa che se prendo un intorno \(I\) di \(x_0\) "abbastanza piccolo" [la derivata è un concetto locale e qui sfrutto la continuità della derivata] allora la sua immagine \(f(I)\) è un intorno di \(f(x_0)\) di misura [lunghezza] circa dimezzata rispetto a \(I\). Ti torna questo concetto? Pensa alla retta \(y = \frac x 2\): l'intervallo \((0,2)\) viene mandato nell'intervallo \((0,1)\).
Capito questo, il più è fatto! Infatti se io applico ancora la stessa funzione al nuovo intervallo, ne ottengo uno ancora più piccolo, e così via all'infinito.
Allora qui salta fuori il teorema delle contrazioni, che ti dice che se prendi un punto \(x\) appartenente ad un intervallo in cui la derivata della funzione è minore di \(1\) in modulo, allora applicando a ripetizione la funzione il punto si avvicinerà al punto fisso della funzione.
Un rapido esempio: \(f(x) = \sqrt x\), punto fisso \(\tilde x = 1\), intervallo di partenza \((\frac 1 2 , 8)\).
Applicando la funzione vedi che \(f((\frac 1 2 , 8)) = (\frac 1 {\sqrt 2}, 4)\).
Applicando ancora: \(f((\frac 1 {\sqrt 2}, 4)) = (2^{-\frac 1 4}, 2)\) e così via, il tuo intervallo collassa su \(1\), e così fa ogni punto che appartiene ad esso.
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