Regressione dati a monomio di grado alpha

[pj1989]

Ciao a tutti.

Vi scrivo perchè ho un problema di ottimo che non riesco a risolvere. Mi scuso fin da subito per il mio matematichese, ma perdonatemi: sono un povero ingegnere

Ho una serie di dati $(x_i;y_i)$ che voglio interpolare con una funzione $U=U_{ref} ( \frac{h}{h_{ref}} ) ^{\alpha}$ nelle variabili $U$ e $h$. $U_{ref}$ e $h_{ref}$ sono due parametri arbitrari, $\alpha$ è da determinare in modo che lo scarto di ciascuno valore sia minimo. Sto praticamente cercando un "monomio di grado $\alpha$ di regressione".

Per risolvere il problema ho quindi proceduto come come si fa con la retta di regressione.

(Metto sotto spoiler tutti i passaggi, se volete controllarli sicuramente non mi lamento )

Ho detto quindi che per ogni coppia vale:

$U_i=U_{ref} ( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha} + \varepsilon_i$

io voglio trovare $\alpha$ tale che

$ S= \sum \varepsilon_i^2 $

sia minima.

Procedo:
esplicito e sostituisco $varepsilon_i$

$ S = \sum \varepsilon_i^2 = \sum [ U_i - U_{ref}( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha}]^2$

cerco quindi un minimo si $S(\alpha)$

$ \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \sum 2 [U_i - U_{ref}( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha}] \alpha U_{ref}( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha-1} = 0$

divido tutto per $U_{ref}$ e separo il secondo esponenziale

$ \sum 2 [\frac{U_i} {U_{ref}} - ( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha}] \alpha \frac{h_{ref}}{h_i} ( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha} = 0$

divido tutto per 2 e svolgo la parentesi

$\sum \alpha \frac{U_i}{U_{ref}} \frac{h_{ref}}{h_i} ( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha} - \sum \alpha \frac{h_{ref}}{h_i} ( \frac{h_i^2}{h_{ref}^2} ) ^{\alpha} =0 $

divido tutto per $\alpha$

$\sum \frac{U_i}{U_{ref}} \frac{h_{ref}}{h_i} ( \frac{h_i}{h_{ref}} ) ^{\alpha} - \sum \frac{h_{ref}}{h_i} ( \frac{h_i^2}{h_{ref}^2} ) ^{\alpha} =0 $

facendo un po' di pulizia...

$B_i = \frac{U_i \ h_{ref}}{U_{ref}\ h_i}$

$C_i = \frac{h_i}{h_{ref}}$

$E_i= \frac{h_i}{h_{ref}}$

$F_i = (\frac{h_i}{h_{ref}})^2$

Dopo tutti questi noiosi passaggi trovo

$\sum B_i C_i^\alpha = \sum E_i F_i^\alpha$

come posso risolvere questa equazione in $\alpha$ ? Anzitutto, esiste una soluzione esplicita per questa equazione?

Grazie mille per l'aiuto!!!

[pj1989]

Nessuno ha idee su come risolvere quella equazione? Magari è meglio spostare il topic in un'altra sezione?

[pj1989]

Scusate se riesumo un mio vecchio post, ma trovo inutile riaprirne uno identico. Qualcuno riesce ad aiutarmi su questo problema? Grazie

[gugo82]

Mi pare proprio che \(\frac{\partial S}{\partial \alpha}\) sia sbagliata... Quando derivi rispetto ad \(\alpha\), devi derivare esponenziali e non potenze.

[pj1989]

Hai ragione. Me ne sono accorto anche io ieri sera tipo "folgorazione sulla via di Damasco". Ho commesso un errore davvero sciocco, la versione corretta è:

$$ S=\sum \left[ U_i - U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}} \right)^\alpha \right]^2 $$

$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum -2 \left[ U_i - U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}} \right)^\alpha \right] U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}}\right)^\alpha \ln \left( \frac{h_i}{h_{ref}}\right) $$

Divido per $2 U_{ref}$ e chiamo $\tilde{h}_i$ il rapporto $ \frac{h_i}{h_{ref}} $ ottenendo:

$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum - \left[ U_i - U_{ref} \tilde{h}_i^\alpha \right] \tilde{h}_i^\alpha \ln \tilde{h}_i $$
$$\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] \ln \tilde{h}_i= 0 $$

Questo mi permette di ottimizzare rispetto ad $\alpha$. Ho provato ieri sera con MATLAB e mi sembra che torni. Il passo successivo sarebbe provare ad ottimizzare anche rispetto a $U_{ref}$. Quindi:

$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum 2 \left[ U_i - U_{ref} \tilde{h}_i^\alpha \right] U_{ref} \left( -\tilde{h}_i^\alpha\right)$$

Che divido di nuovo per $2U_{ref}$. Mettendo a sistema:
$$
\begin{cases}
\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] \ln \tilde{h}_i= 0 \\
\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] = 0
\end{cases}
$$

nelle incognite $\alpha$ e $\U_{ref}$.

Ringrazio moltissimo per l'aiuto. Vi chiederei anche solo un'indizio per imboccare la strada giusta, ai calcoli noiosi poi ci penso io (errori idioti permettendo )

Grazie mille,
Luca

[pj1989]

Guarda, se hai idee bene, altrimenti non stare a perderci troppo tempo.

Ho optato per una schifosa soluzione "informatica", mi trovo un matricione dei valori di $S$ al variare di $\alpha$ e $U_{ref}$ e trovo gli indici di riga e colonna del minimo.

Non è "bella" come una soluzione matematica, ma per ora funziona.

Grazie mille comunque per l'aiuto e per eventuali suggerimenti.