Regressione dati a monomio di grado alpha
Ciao a tutti.
Vi scrivo perchè ho un problema di ottimo che non riesco a risolvere. Mi scuso fin da subito per il mio matematichese, ma perdonatemi: sono un povero ingegnere
Ho una serie di dati $(x_i;y_i)$ che voglio interpolare con una funzione $U=U_{ref} ( \frac{h}{h_{ref}} ) ^{\alpha}$ nelle variabili $U$ e $h$. $U_{ref}$ e $h_{ref}$ sono due parametri arbitrari, $\alpha$ è da determinare in modo che lo scarto di ciascuno valore sia minimo. Sto praticamente cercando un "monomio di grado $\alpha$ di regressione".
Per risolvere il problema ho quindi proceduto come come si fa con la retta di regressione.
(Metto sotto spoiler tutti i passaggi, se volete controllarli sicuramente non mi lamento
)
Dopo tutti questi noiosi passaggi trovo
$\sum B_i C_i^\alpha = \sum E_i F_i^\alpha$
come posso risolvere questa equazione in $\alpha$ ? Anzitutto, esiste una soluzione esplicita per questa equazione?
Grazie mille per l'aiuto!!!
Vi scrivo perchè ho un problema di ottimo che non riesco a risolvere. Mi scuso fin da subito per il mio matematichese, ma perdonatemi: sono un povero ingegnere

Ho una serie di dati $(x_i;y_i)$ che voglio interpolare con una funzione $U=U_{ref} ( \frac{h}{h_{ref}} ) ^{\alpha}$ nelle variabili $U$ e $h$. $U_{ref}$ e $h_{ref}$ sono due parametri arbitrari, $\alpha$ è da determinare in modo che lo scarto di ciascuno valore sia minimo. Sto praticamente cercando un "monomio di grado $\alpha$ di regressione".
Per risolvere il problema ho quindi proceduto come come si fa con la retta di regressione.
(Metto sotto spoiler tutti i passaggi, se volete controllarli sicuramente non mi lamento

Dopo tutti questi noiosi passaggi trovo
$\sum B_i C_i^\alpha = \sum E_i F_i^\alpha$
come posso risolvere questa equazione in $\alpha$ ? Anzitutto, esiste una soluzione esplicita per questa equazione?
Grazie mille per l'aiuto!!!
Risposte
Nessuno ha idee su come risolvere quella equazione? Magari è meglio spostare il topic in un'altra sezione?
Scusate se riesumo un mio vecchio post, ma trovo inutile riaprirne uno identico. Qualcuno riesce ad aiutarmi su questo problema? Grazie
Mi pare proprio che \(\frac{\partial S}{\partial \alpha}\) sia sbagliata... Quando derivi rispetto ad \(\alpha\), devi derivare esponenziali e non potenze.
Hai ragione. Me ne sono accorto anche io ieri sera tipo "folgorazione sulla via di Damasco". Ho commesso un errore davvero sciocco, la versione corretta è:
$$ S=\sum \left[ U_i - U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}} \right)^\alpha \right]^2 $$
$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum -2 \left[ U_i - U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}} \right)^\alpha \right] U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}}\right)^\alpha \ln \left( \frac{h_i}{h_{ref}}\right) $$
Divido per $2 U_{ref}$ e chiamo $\tilde{h}_i$ il rapporto $ \frac{h_i}{h_{ref}} $ ottenendo:
$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum - \left[ U_i - U_{ref} \tilde{h}_i^\alpha \right] \tilde{h}_i^\alpha \ln \tilde{h}_i $$
$$\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] \ln \tilde{h}_i= 0 $$
Questo mi permette di ottimizzare rispetto ad $\alpha$. Ho provato ieri sera con MATLAB e mi sembra che torni. Il passo successivo sarebbe provare ad ottimizzare anche rispetto a $U_{ref}$. Quindi:
$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum 2 \left[ U_i - U_{ref} \tilde{h}_i^\alpha \right] U_{ref} \left( -\tilde{h}_i^\alpha\right)$$
Che divido di nuovo per $2U_{ref}$. Mettendo a sistema:
$$
\begin{cases}
\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] \ln \tilde{h}_i= 0 \\
\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] = 0
\end{cases}
$$
nelle incognite $\alpha$ e $\U_{ref}$.
Ringrazio moltissimo per l'aiuto. Vi chiederei anche solo un'indizio per imboccare la strada giusta, ai calcoli noiosi poi ci penso io (errori idioti permettendo
)
Grazie mille,
Luca
$$ S=\sum \left[ U_i - U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}} \right)^\alpha \right]^2 $$
$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum -2 \left[ U_i - U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}} \right)^\alpha \right] U_{ref} \left( \frac{h_i}{h_{ref}}\right)^\alpha \ln \left( \frac{h_i}{h_{ref}}\right) $$
Divido per $2 U_{ref}$ e chiamo $\tilde{h}_i$ il rapporto $ \frac{h_i}{h_{ref}} $ ottenendo:
$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum - \left[ U_i - U_{ref} \tilde{h}_i^\alpha \right] \tilde{h}_i^\alpha \ln \tilde{h}_i $$
$$\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] \ln \tilde{h}_i= 0 $$
Questo mi permette di ottimizzare rispetto ad $\alpha$. Ho provato ieri sera con MATLAB e mi sembra che torni. Il passo successivo sarebbe provare ad ottimizzare anche rispetto a $U_{ref}$. Quindi:
$$ \frac{dS}{d\alpha}=\sum 2 \left[ U_i - U_{ref} \tilde{h}_i^\alpha \right] U_{ref} \left( -\tilde{h}_i^\alpha\right)$$
Che divido di nuovo per $2U_{ref}$. Mettendo a sistema:
$$
\begin{cases}
\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] \ln \tilde{h}_i= 0 \\
\sum \left[ U_{ref}\tilde{h}_i^{2\alpha}-U_i \tilde{h}_i^\alpha \right] = 0
\end{cases}
$$
nelle incognite $\alpha$ e $\U_{ref}$.
Ringrazio moltissimo per l'aiuto. Vi chiederei anche solo un'indizio per imboccare la strada giusta, ai calcoli noiosi poi ci penso io (errori idioti permettendo

Grazie mille,
Luca
Guarda, se hai idee bene, altrimenti non stare a perderci troppo tempo.
Ho optato per una schifosa soluzione "informatica", mi trovo un matricione dei valori di $S$ al variare di $\alpha$ e $U_{ref}$ e trovo gli indici di riga e colonna del minimo.
Non è "bella" come una soluzione matematica, ma per ora funziona.
Grazie mille comunque per l'aiuto e per eventuali suggerimenti.
Ho optato per una schifosa soluzione "informatica", mi trovo un matricione dei valori di $S$ al variare di $\alpha$ e $U_{ref}$ e trovo gli indici di riga e colonna del minimo.
Non è "bella" come una soluzione matematica, ma per ora funziona.
Grazie mille comunque per l'aiuto e per eventuali suggerimenti.
