Punto fisso
Salve a tutti!
Sia assegnata la funzione $f(x)=5xe^{-x}-1$. Provato che ammette una ed una soluzione $\alpha\in [0;1]$, è facile mostrare che $\alpha$ è punto fisso per le funzioni di iterazione
$\phi_1(x)=\frac{1}{5}e^x$, $phi_2(x)=\log(5x)$ e $\phi_3(x)=\frac{\frac{e^x}{5}-x^2}{1-x}$.
Si chiede adesso di stabilire quali delle tre funzioni di iterazione di cui sopra generano un metodo iterativo convergente partendo da $x_0=0,5$ e di calcolare l'ordine di convergenza.
Illustro il ragionamento da me eseguito per la prima e per la seconda:
[1] riesce che $\phi'_1(x)=\frac{1}{5}e^x$ da cui $|\phi'_1(x)|<1,\;\forall x\in [0;1]$ ed in particolare essendo $\alpha\in [0;1]$ segue che $|\phi'_1(\alpha)|<1$. Per il teorema di convergenza locale, il metodo iterativo con funzione di iterazione $\phi_1$ converge al punto fisso $\alpha$.
[2] Osservato che $\phi'_2(x)=\frac{1}{x}$, ne segue che la $\phi'_2$ non è limitata in $[0;1]$. Quindi cosa posso concludere? Il teorema di convergenza è una condizione sufficiente e non necessaria, quindi non so cosa dire.
Inoltre siamo sicuri che i ragionamenti vadano fatti in $[0;1]$? Nel testo dell'esercizio non è specificato.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Sia assegnata la funzione $f(x)=5xe^{-x}-1$. Provato che ammette una ed una soluzione $\alpha\in [0;1]$, è facile mostrare che $\alpha$ è punto fisso per le funzioni di iterazione
$\phi_1(x)=\frac{1}{5}e^x$, $phi_2(x)=\log(5x)$ e $\phi_3(x)=\frac{\frac{e^x}{5}-x^2}{1-x}$.
Si chiede adesso di stabilire quali delle tre funzioni di iterazione di cui sopra generano un metodo iterativo convergente partendo da $x_0=0,5$ e di calcolare l'ordine di convergenza.
Illustro il ragionamento da me eseguito per la prima e per la seconda:
[1] riesce che $\phi'_1(x)=\frac{1}{5}e^x$ da cui $|\phi'_1(x)|<1,\;\forall x\in [0;1]$ ed in particolare essendo $\alpha\in [0;1]$ segue che $|\phi'_1(\alpha)|<1$. Per il teorema di convergenza locale, il metodo iterativo con funzione di iterazione $\phi_1$ converge al punto fisso $\alpha$.
[2] Osservato che $\phi'_2(x)=\frac{1}{x}$, ne segue che la $\phi'_2$ non è limitata in $[0;1]$. Quindi cosa posso concludere? Il teorema di convergenza è una condizione sufficiente e non necessaria, quindi non so cosa dire.
Inoltre siamo sicuri che i ragionamenti vadano fatti in $[0;1]$? Nel testo dell'esercizio non è specificato.
Vi ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Niente da fare?
Semplice:
$ |f^{\prime}(x)|=|5/x| $
Per garantire la convergenza dovrà essere:
$ |5/x|<1 $
Da cui:
$ 5/x<1 $ e $ 5/x<-1 $
Per cui:
$ x>5 $ e $ x<-5 $
Pertanto essendo l'intervallo [0,1] non compreso negli intervalli trovati si ha che scelto x0 in [0,1] usando questo metodo non converge
$ |f^{\prime}(x)|=|5/x| $
Per garantire la convergenza dovrà essere:
$ |5/x|<1 $
Da cui:
$ 5/x<1 $ e $ 5/x<-1 $
Per cui:
$ x>5 $ e $ x<-5 $
Pertanto essendo l'intervallo [0,1] non compreso negli intervalli trovati si ha che scelto x0 in [0,1] usando questo metodo non converge
"claudiocarcaci":
Semplice:
$ |f^{\prime}(x)|=|5/x| $
Forse intendevi dire $|\phi_2'(x)|=|\frac{1}{x}|$! Giusto?
Sì, perdonami, questo succede a non andare in vacanza d'estate -.-''
Ho cannato modulo e derivata -.-''
Comunque:
$ |f^{\prime}(x)|=|1/x| $
Per garantire la convergenza dovrà essere:
$ |1/x|<1 $
Da cui:
$ 1/x<1 $ e $ 1/x> -1 $
Per cui:
$ x>1 $ e $ x<-1 $
Pertanto essendo l'intervallo [0,1] non compreso negli intervalli trovati si ha che scelto x0 in [0,1] usando questo metodo non converge
Ho cannato modulo e derivata -.-''
Comunque:
$ |f^{\prime}(x)|=|1/x| $
Per garantire la convergenza dovrà essere:
$ |1/x|<1 $
Da cui:
$ 1/x<1 $ e $ 1/x> -1 $
Per cui:
$ x>1 $ e $ x<-1 $
Pertanto essendo l'intervallo [0,1] non compreso negli intervalli trovati si ha che scelto x0 in [0,1] usando questo metodo non converge
Perfetto! Non era necessario che riscrivessi tutto! Grazie per la risposta!
Adesso è la volta di $\phi_3$. Se dovessi avere problemi, li illustrerò in questa sede!
Adesso è la volta di $\phi_3$. Se dovessi avere problemi, li illustrerò in questa sede!
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