Problema programmazione lineare
Un’azienda produce prodotti per la pulizia della casa. L’azienda ha molti concorrenti e cerca in ogni modo di aumentare la sua quota di mercato. Pertanto ha deciso di rinnovare tre prodotti
- uno smacchiatore spray
- un sapone liquido
- un sapone in polvere
Per promuovere i nuovi prodotti si utilizzeranno televisione e giornali Sono stati fissati gli obiettivi
- incremento della vendita dello smacchiatore per almeno il 3%
- incremento della vendita del sapone liquido per almeno il 18%
- incremento della vendita del sapone in polvere per almeno il 4%
Nella tabella seguente sono dati gli incrementi di vendita che si pensa di avere per ogni messaggio pubblicitario di lunghezza standard. Sono ammesse anche frazioni del messaggio.
Nella tabella compare –1% perché la pubblicità sul sapone liquido fa diminuire la vendita del
sapone in polvere.
Il management vuole determinare come pianificare la campagna pubblicitaria in modo da raggiungere gli obiettivi proposti e minimizzare i costi.
Trova la soluzione del problema formulandolo come problema PL e quindi risolvilo graficamente.
Io ho pensato di impostarlo in questo modo:
min z = 1x1 + 2x2
imponendo i seguenti vincoli:
0x1 + 1x1 > 3
3x1 + 2x2>= 18
-1x1 + 4x2 >= 4
Ho molti dubbi sul fatto che sia corretto, c'è qualcuno che può darmi una mano?
Grazie in anticipo!
- uno smacchiatore spray
- un sapone liquido
- un sapone in polvere
Per promuovere i nuovi prodotti si utilizzeranno televisione e giornali Sono stati fissati gli obiettivi
- incremento della vendita dello smacchiatore per almeno il 3%
- incremento della vendita del sapone liquido per almeno il 18%
- incremento della vendita del sapone in polvere per almeno il 4%
Nella tabella seguente sono dati gli incrementi di vendita che si pensa di avere per ogni messaggio pubblicitario di lunghezza standard. Sono ammesse anche frazioni del messaggio.
| Prodotto | tlevisione | giornali | Incremento di vendita richiesto |
|---|---|---|---|
| 0% | 1% | 3% | sapone liquido |
| 2% | 18% | sapone in polvere | -1% |
| 4% | 1 milione di € | 2 milioni di € |
Nella tabella compare –1% perché la pubblicità sul sapone liquido fa diminuire la vendita del
sapone in polvere.
Il management vuole determinare come pianificare la campagna pubblicitaria in modo da raggiungere gli obiettivi proposti e minimizzare i costi.
Trova la soluzione del problema formulandolo come problema PL e quindi risolvilo graficamente.
Io ho pensato di impostarlo in questo modo:
min z = 1x1 + 2x2
imponendo i seguenti vincoli:
0x1 + 1x1 > 3
3x1 + 2x2>= 18
-1x1 + 4x2 >= 4
Ho molti dubbi sul fatto che sia corretto, c'è qualcuno che può darmi una mano?
Grazie in anticipo!
Risposte
Mi sembra che funzioni, senza vedere la tua soluzione io avrei scritto questo:
$min sum_{i=1}^{2}sum_{j=1}^{3}c_i*x_(i,j)$
$text(s.t)$
$sum_{i=1}^{2}a_(i,j)*x_(i,j)>=r_j text( j=1,2,3)$
$x_(i,j)>=0 text( i=1,2, j=1,2,3)$
dove:
$c_i$ è il costo della pubblicità di tipo $i$
$a_(i,j) $ è la variazione percentuale ottenuta a seguito di un investimento unitario in pubblicità
$r_j$ è la richiesta di aumento da soddisfare
$x_(i,j)$ è la variabile che permette di scegliere la quantità di investimento pubblicitario ($i$ sono i diversi tipi di pubblicità e $j$ i diversi prodotti).
Il tuo differisce perché tu hai considerato che l'investimento fatto in pubblicità è, in quantità, indipendente dal prodotto. Non c'è però scritta questa cosa. Io ho considerato che ogni prodotto ha una sua campagna pubblicitaria e quindi è possibile decidere quanta pubblicità fare per quel determinato prodotto. Non so se ho capito male io il testo. Non ti saprei dire se è giusta la tua formulazione o la mia, il testo che hai proposto non è chiaro a riguardo. Fosse stato un esame io avrei chiesto al docente di chiarire se l'azienda può decidere per ogni singolo prodotto la quantità di pubblicità per ogni strumento (allora sarebbe come il mio) oppure se può decidere solamente il mix di pubblicità, valido dunque per ogni prodotto (allora sarebbe come il tuo).
PS: Dato che però chiede la risoluzione grafica direi che la scelta da proporre sia la tua. Allora si avrebbe esattamente la tua formulazione, se non mi sta sfuggendo niente:
$min sum_{j=1}^{2}c_j*x_j$
$text(s.t)$
$sum_{j=1}^{2}a_(i,j)*x_j>=r_j text( i=1,2,3)$
$x_j>=0 text( j=1,2)$
in pratica in forma compatta sarebbe banalmente:
$min Cx$
$text(s.t)$
$Ax>=R$
$x>=0$
con:
$A=((0,1),(3,2),(-1,4))$
$R=((3),(18),(4))$
$C=(1,2)$
$min sum_{i=1}^{2}sum_{j=1}^{3}c_i*x_(i,j)$
$text(s.t)$
$sum_{i=1}^{2}a_(i,j)*x_(i,j)>=r_j text( j=1,2,3)$
$x_(i,j)>=0 text( i=1,2, j=1,2,3)$
dove:
$c_i$ è il costo della pubblicità di tipo $i$
$a_(i,j) $ è la variazione percentuale ottenuta a seguito di un investimento unitario in pubblicità
$r_j$ è la richiesta di aumento da soddisfare
$x_(i,j)$ è la variabile che permette di scegliere la quantità di investimento pubblicitario ($i$ sono i diversi tipi di pubblicità e $j$ i diversi prodotti).
Il tuo differisce perché tu hai considerato che l'investimento fatto in pubblicità è, in quantità, indipendente dal prodotto. Non c'è però scritta questa cosa. Io ho considerato che ogni prodotto ha una sua campagna pubblicitaria e quindi è possibile decidere quanta pubblicità fare per quel determinato prodotto. Non so se ho capito male io il testo. Non ti saprei dire se è giusta la tua formulazione o la mia, il testo che hai proposto non è chiaro a riguardo. Fosse stato un esame io avrei chiesto al docente di chiarire se l'azienda può decidere per ogni singolo prodotto la quantità di pubblicità per ogni strumento (allora sarebbe come il mio) oppure se può decidere solamente il mix di pubblicità, valido dunque per ogni prodotto (allora sarebbe come il tuo).
PS: Dato che però chiede la risoluzione grafica direi che la scelta da proporre sia la tua. Allora si avrebbe esattamente la tua formulazione, se non mi sta sfuggendo niente:
$min sum_{j=1}^{2}c_j*x_j$
$text(s.t)$
$sum_{j=1}^{2}a_(i,j)*x_j>=r_j text( i=1,2,3)$
$x_j>=0 text( j=1,2)$
in pratica in forma compatta sarebbe banalmente:
$min Cx$
$text(s.t)$
$Ax>=R$
$x>=0$
con:
$A=((0,1),(3,2),(-1,4))$
$R=((3),(18),(4))$
$C=(1,2)$
Ciao Intermat, grazie per la risposta!
In pratica il problema può essere interpretato in entrambi i modi, solo che mi sorge un dubbio:
interpretandolo come hai fatto tu come si potrebbe rappresentare graficamente?
In pratica il problema può essere interpretato in entrambi i modi, solo che mi sorge un dubbio:
interpretandolo come hai fatto tu come si potrebbe rappresentare graficamente?
"ms91":
Ciao Intermat, grazie per la risposta!
In pratica il problema può essere interpretato in entrambi i modi, solo che mi sorge un dubbio:
interpretandolo come hai fatto tu come si potrebbe rappresentare graficamente?
Non è possibile. Normalmente puoi risolvere graficamente perché hai due variabili, nel mio caso ne avresti molte di più.
Buonasera,
Intanto ti ringrazio tanto per le risposte precedenti.
Avrei un ultima domanda, come imposto il problema se volessi ottenere la seguente tabella?
Intanto ti ringrazio tanto per le risposte precedenti.
Avrei un ultima domanda, come imposto il problema se volessi ottenere la seguente tabella?
| Obiettivi prodotto | Costo minimo campagna pubblicitaria | ||
|---|---|---|---|
| Sapone liquido | Sapone in polvere | ? | 1% |
| 2% | ? | 1% | 18% |
| ? | 2% | 9% | 2% |
| 2% | 18% | 4% | ? |
| 9% | 2% | ? | 3% |
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