Problema pivoting parziale
Ciao a tutti sto avendo alcuni problemi con la comprensione del pivoting parziale, inanzitutto vorrei chiedere se è questo l'utilizzo del pivoting parziale con il metodo di gauss: mentre si procede con il metodo di gauss bisogna riordinare le equazioni in modo che ogni volta il coefficiente a[size=70]ik[/size] sia il maggiore fra le equazioni ancora da ridurre. In caso l'utilizzo del pivoting che ho descrittto prima sia corretto, non ho capito in che modo mi aiuta ad avere un risultato più corretto. Grazie a tutti, spero di essere stato chiaro!
Risposte
È una questione numerica legata alla risoluzione del sistema triangolare.
Potresti spiegarmelo in un modo più approfondito?
Ok, ora ho un po' più tempo.
Se tu lavori su numeri reali, con calcoli ad infinita precisione, un pivoting diverso da quello che prende il primo elemento non-zero è inutile. Il problema del pivoting nasce dall'uso di numeri a precisione limitata (l'utilizzo di frazioni rispetto ai floating point non ti risolverebbe il problema del tutto). Tieni comunque conto che il pivoting parziale non è stabile in teoria ma solo in pratica ed esistono matrici in cui il pivoting parziale si comporta davvero male. In quei casi conviene usare il pivoting completo, il rook pivoting (una via di mezzo tra parziale e completo), oppure la decomposizione QR (che se calcolata nel modo giusto ha una stabilità generalmente maggiore).
Il problema sostanzialmente è che se l'elemento sulla diagonale è molto piccolo rispetto ad un altro elemento della stessa colonna allora ci si troverà a moltiplicare la riga per qualcosa di molto grande, eventualmente perdendo precisione.
Se tu lavori su numeri reali, con calcoli ad infinita precisione, un pivoting diverso da quello che prende il primo elemento non-zero è inutile. Il problema del pivoting nasce dall'uso di numeri a precisione limitata (l'utilizzo di frazioni rispetto ai floating point non ti risolverebbe il problema del tutto). Tieni comunque conto che il pivoting parziale non è stabile in teoria ma solo in pratica ed esistono matrici in cui il pivoting parziale si comporta davvero male. In quei casi conviene usare il pivoting completo, il rook pivoting (una via di mezzo tra parziale e completo), oppure la decomposizione QR (che se calcolata nel modo giusto ha una stabilità generalmente maggiore).
Il problema sostanzialmente è che se l'elemento sulla diagonale è molto piccolo rispetto ad un altro elemento della stessa colonna allora ci si troverà a moltiplicare la riga per qualcosa di molto grande, eventualmente perdendo precisione.
Ok grazie ora ho le idee più chiare!
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