Problema di ottimizzazione

[ruk1]

Devo risolvere il seguente problema di ottimizzazione in due variabili:
Si desidera massimizzare f(x, y) = 3x + 2y sui vincoli
2x + y = 20 5x + 4y = 60 3x + 5y = 60
con x e y maggiori o uguali a zero.
In questo caso i vincoli sono espressi in forma di disuguaglianze e quindi otterremo
una regione interna, in cui cercare punti critici, e la sua frontiera.
Dobbiamo analizzare i punti interni al poligono in figura:
siccome gradiente di f = 0 (non ce ne sono).
Infine dobbiamo cercare il massimo assoluto sulla frontiera, su ciascun lato cercare il
massimo assoluto della funzione.

In questo caso, f è una funzione lineare, quindi gli eventuali massimo e minimo assoluti
si potranno trovare solo nei vertici (intersezioni tra le rette intersez con gli assi
e nell'origine)!!!!
La domanda è: l'ultima affermazione è vera perchè si può dire??
Come faccio a dimostrarlo?

Grazie a tutti

[Elijah82]

[Elijah82]

Attenzione, perché l'ultima affermazione non significa che la soluzione può essere SOLO su un vertice, ma che, se esiste, certamente c'è almeno un vertice su cui la funzione assume il valore massimo. Esempio
max x
x <= 0
y <= 1
y >= -1
la soluzione ottima è 0, ed è assunta su tutto il segmento (0,1)-(0,-1)

[ruk1]

Scusami non conosco il simboismo della
programmazione lineare.. cosa indichi con C^T?
Nella dimostrazione dove sfutti la linearità
della funzione f(x,y)?

Ti prego aiutami è importante

grazie...

[Elijah82]

c^T significa c trasposto. è un modo comodo per indicare il prodotto scalare tra due vettori: = a^T * b. quindi possiamo scrivere, in generale,

f(x) = c^T * x

dove c è il vettore dei coefficienti e x il vettore delle variabili. Nel tuo esempio hai solo due variabili, quindi x = (x,y) e c = (3,2). dunque

f(x,y) = c^T * x = 3x + 2y

Nella dimostrazione ho dimenticato di dire che y e z sono vertici: questo è fondamentale!!!

[ruk1]

Ho un altro problema..
devo capire se posso applicare Weierstrass per conosacere il volume di una scatola senza il coperchio, di cui si conosce l'area laterale. E' quindi un problema di ottimizzazione il cui vincolo e':
2xy+2yz+xz=costante e la funzione da massimizzare e' f(x,y,z)=xyz.
Grazie per l' attenzione

[Elijah82]

Immagino che tu voglia massimizzare il volume, ed utilizzare Weierstrass per affermare che esiste un massimo della funzione f sull'insieme ammissibile sfruttando il fatto che tale insieme è chiuso e limitato. Devi considerare che in realtà hai altri 3 vincoli impliciti nella formulazione del problema:

x >= 0
y >= 0
z >= 0

Dunque è evidente che, per la struttura del vincolo

2xy + 2yz + xz = k

tutte e tre le variabili x,y,z sono limitate superiormente. infatti, poiché x,y,z sono non negative, si ha

xy <= k/2
yz <= k/2
xz <= k

allora, se per assurdo x non fosse limitato superiormente, dovremmo necessariamente avere

xy <= k --> y = 0
xz <= 0 --> z = 0

ma questo implicherebbe la contraddizione

2xy + 2yz + xz = 0 < k.

Allora, poiché l'insieme ammissibile è chiuso e limitato, la funzione f(x,y,z) ammette un massimo su tale insieme.

[ruk1]

grazie ho capito
sei stato chiarissimo!!!!!!!