Problema di equazione lineare e tre punti
Buongiorno scusate l'ignoranza ma non sono sicuro se questo sia il sottoforum adatto al problema specifico.
Ho il seguente problema da risolvere:
ho tre punti di coordinate P1=(-1,0) P2=(0,1) e P3=(1,0)
l'obiettivo è individuare quella funzionare lineare di tipo y=ax+b
che minimizza le distanze verticali tra la funzione stessa ed i tre punti.
Sinceramente non saprei dove iniziare, capisco che l'obiettivo è trovare i valori di a e di b ma non ho idea di come arrivarci.
Come si chiamano questi tipi di problemi?
Potete consigliarmi dei testi dove posso trovare essercizi simili svolti per capire come si risolvono?
Potreste aiutarmi a capire come posso risolvere questo problema?
vi ringrazio in anticipo.
cordiali saluti.
m.
Ho il seguente problema da risolvere:
ho tre punti di coordinate P1=(-1,0) P2=(0,1) e P3=(1,0)
l'obiettivo è individuare quella funzionare lineare di tipo y=ax+b
che minimizza le distanze verticali tra la funzione stessa ed i tre punti.
Sinceramente non saprei dove iniziare, capisco che l'obiettivo è trovare i valori di a e di b ma non ho idea di come arrivarci.
Come si chiamano questi tipi di problemi?
Potete consigliarmi dei testi dove posso trovare essercizi simili svolti per capire come si risolvono?
Potreste aiutarmi a capire come posso risolvere questo problema?
vi ringrazio in anticipo.
cordiali saluti.
m.
Risposte
Il tuo problema si risolve con il metodo dei minimi quadrati, questo è un link dove trovi anche la soluzione per il caso $y=m*x+q $
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_minimi_quadrati
Ciao
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_minimi_quadrati
Ciao
grazie v.tondi per il suggerimento, ho provato a svolgere il rpoblema ma non sono sicuro dei risultati:
i quadrati dei residuo sarà uguale a : $S=(-a+b-0)^2+(0+0-1)^2+(a+b+0)^2 = 2a^2+2b^2+1$
per trovare a e b devo minimizzare S rispetto ad a e poi rispetto a b e porre le derivate uguale a 0:
dS/da= 4a=0 e dS/db=4b=0 da cui deduco che a=0 e b=0 e quindi la funzione lineare che minimizza la distanza dai 3 punti è y=0
possibile?Dove ho commesso l'errore?
i quadrati dei residuo sarà uguale a : $S=(-a+b-0)^2+(0+0-1)^2+(a+b+0)^2 = 2a^2+2b^2+1$
per trovare a e b devo minimizzare S rispetto ad a e poi rispetto a b e porre le derivate uguale a 0:
dS/da= 4a=0 e dS/db=4b=0 da cui deduco che a=0 e b=0 e quindi la funzione lineare che minimizza la distanza dai 3 punti è y=0
possibile?Dove ho commesso l'errore?
L'obiettivo è quello di calcolare i valori di $a$ e $b$, su wikipedia sono rispettivamente $m$ e $q$. Ti crei una tabella con diverse colonne:
1) ascisse dei punti $x$
2) ordinate dei punti $y$
3) prodotto ascisse ordinate $x*y$
4) ascisse elevate al quadrato $x^2$
N indica ilnumero dei valori che hai a disposizione dal problema nel tuo caso $3$
Successivamente ti calcoli le somme di tutti questi valori e poi applichi le relative formule da wikipedia: Sono delle formule abbstanza semplici da ricavare, in particolare derivano da un sistema di annullamento delle derivate parziali prime.
Fammi sapere.
1) ascisse dei punti $x$
2) ordinate dei punti $y$
3) prodotto ascisse ordinate $x*y$
4) ascisse elevate al quadrato $x^2$
N indica ilnumero dei valori che hai a disposizione dal problema nel tuo caso $3$
Successivamente ti calcoli le somme di tutti questi valori e poi applichi le relative formule da wikipedia: Sono delle formule abbstanza semplici da ricavare, in particolare derivano da un sistema di annullamento delle derivate parziali prime.
Fammi sapere.
grazie v.tondi, ho trovato l'errore.... $S=2a^2+3b^2-2b+1$ da cui la funzione finale è y=0,3 che ha molto piu senso rispetto a prima.
Nel caso in cui anzicchè minimizzare la somma dei quadrati dei residui e quindi usare il metodo dei minimi quadrati volessi usare un metodo di
minimizzazione diverso, ad esempio presi i 3 punti trovare la funzione di tipo $y=ax^2+bx+c$
che anzicchè minimizzare una sommatoria minimizza un'integrale.
In tal caso come cambia il problema... come posso risolverlo?
Nel caso in cui anzicchè minimizzare la somma dei quadrati dei residui e quindi usare il metodo dei minimi quadrati volessi usare un metodo di
minimizzazione diverso, ad esempio presi i 3 punti trovare la funzione di tipo $y=ax^2+bx+c$
che anzicchè minimizzare una sommatoria minimizza un'integrale.
In tal caso come cambia il problema... come posso risolverlo?
Leggiti questo file:
http://www.calogeromartorana.it/DOWNLOA ... ERPOL4.pdf (caso della parabola). Purtroppo non posso spiegarti come si arriva al sistema delle tre equazioni in quanto perderei tanto tempo, comunque l'obiettivo iniziale è l'annullamento delle derivate parziali prime.
http://www.calogeromartorana.it/DOWNLOA ... ERPOL4.pdf (caso della parabola). Purtroppo non posso spiegarti come si arriva al sistema delle tre equazioni in quanto perderei tanto tempo, comunque l'obiettivo iniziale è l'annullamento delle derivate parziali prime.
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