Problema di Cauchy (Eulero Implicito)
Ciao ragazzi, sono nuovo nel forum. Vorrei chiedervi se per favore potete aiutarmi con questo problema di Cauchy:
$\{(x''=-x'+2y+cos(t), con, x(0)=0, x'(0)=1),(y''=-x+2y'+sen(t), con, y(0)=1, y'(0)=0):}$
(a) Scrivere il sistema del primo ordine equivalente.
(b) Determinare se il a problema ammette una soluzione asintoticamente stabile.
(c) Calcolare la soluzione al tempo t = 0.1 con passo h = 0.1 applicando il metodo di Eulero Implicito.
Per il punto (a) la costruzione del sistema equivalente è corretta in questa forma?
x=u x'=v y=m y'=n
$\{(u'=v),(m'=n),((v'=-2v+2m+cos(t), con, u(0)=0, v(0)=1)),((n'=-u+2n+sen(t), con, m(0)=1, n(0)=0)):}$
Per il punto (b) si deve fare la Jacobiana facendo la derivata parziale per ogni equazione rispetto a u,v,m,n per poi trovare gli autovalori sottraendo $\lambda$I e verificare se almeno uno degli stessi è negativo?
Per il punto (c) non saprei bene come procedere, avete dei consigli?
Grazie mille a tutt*!
$\{(x''=-x'+2y+cos(t), con, x(0)=0, x'(0)=1),(y''=-x+2y'+sen(t), con, y(0)=1, y'(0)=0):}$
(a) Scrivere il sistema del primo ordine equivalente.
(b) Determinare se il a problema ammette una soluzione asintoticamente stabile.
(c) Calcolare la soluzione al tempo t = 0.1 con passo h = 0.1 applicando il metodo di Eulero Implicito.
Per il punto (a) la costruzione del sistema equivalente è corretta in questa forma?
x=u x'=v y=m y'=n
$\{(u'=v),(m'=n),((v'=-2v+2m+cos(t), con, u(0)=0, v(0)=1)),((n'=-u+2n+sen(t), con, m(0)=1, n(0)=0)):}$
Per il punto (b) si deve fare la Jacobiana facendo la derivata parziale per ogni equazione rispetto a u,v,m,n per poi trovare gli autovalori sottraendo $\lambda$I e verificare se almeno uno degli stessi è negativo?
Per il punto (c) non saprei bene come procedere, avete dei consigli?
Grazie mille a tutt*!
Risposte
Ti sei bloccato nel punto più facile! Scrivi il metodo e sostituisci, no?

Quanto detto in precedenza quindi è tutto corretto? Comunque più che bloccato ho dei dubbi, sicuramente è più semplice di quanto pensi.
Per Eulero implicito si ha che $y_(k+1)=y_k+h_kf(y_(k+1),t_(k+1))$
Quindi andando a sostituire:
1) v(0.1)=v(0)+0.1(-2v(0.1)+2m(0.1)+cos(0.1)) ---> v(0.1)=0.17m(0.1)+0.92
2) n(0.1)=n(0)+0.1(-u(0.1)+2n(0.1)+sen(0.1)) ---> n(0.1)=-0.125u(0.1)+0.0125
a questo punto mi rimarrebbero le incognite m(0.1) e u(0.1) e non saprei arrivare alla risoluzione del problema.
Grazie ancora della disponibilità
Ps. Scusate la sintassi ridicola ma devo ancora prenderci confidenza
Per Eulero implicito si ha che $y_(k+1)=y_k+h_kf(y_(k+1),t_(k+1))$
Quindi andando a sostituire:
1) v(0.1)=v(0)+0.1(-2v(0.1)+2m(0.1)+cos(0.1)) ---> v(0.1)=0.17m(0.1)+0.92
2) n(0.1)=n(0)+0.1(-u(0.1)+2n(0.1)+sen(0.1)) ---> n(0.1)=-0.125u(0.1)+0.0125
a questo punto mi rimarrebbero le incognite m(0.1) e u(0.1) e non saprei arrivare alla risoluzione del problema.
Grazie ancora della disponibilità

Ps. Scusate la sintassi ridicola ma devo ancora prenderci confidenza

Con il sistema equivalente ti eri ricavato quattro equazioni, mentre nell'ultimo post ne stavi usando solo due.
Mettendo a sistema quattro equazioni e quattro incognite la possibilita' di trovare un vettore soluzione aumenta
Mettendo a sistema quattro equazioni e quattro incognite la possibilita' di trovare un vettore soluzione aumenta
