Problema di Cauchy (Eulero Implicito)

[VISCO]

Ciao ragazzi, sono nuovo nel forum. Vorrei chiedervi se per favore potete aiutarmi con questo problema di Cauchy:

$\{(x''=-x'+2y+cos(t), con, x(0)=0, x'(0)=1),(y''=-x+2y'+sen(t), con, y(0)=1, y'(0)=0):}$

(a) Scrivere il sistema del primo ordine equivalente.
(b) Determinare se il a problema ammette una soluzione asintoticamente stabile.
(c) Calcolare la soluzione al tempo t = 0.1 con passo h = 0.1 applicando il metodo di Eulero Implicito.

Per il punto (a) la costruzione del sistema equivalente è corretta in questa forma?

x=u x'=v y=m y'=n

$\{(u'=v),(m'=n),((v'=-2v+2m+cos(t), con, u(0)=0, v(0)=1)),((n'=-u+2n+sen(t), con, m(0)=1, n(0)=0)):}$

Per il punto (b) si deve fare la Jacobiana facendo la derivata parziale per ogni equazione rispetto a u,v,m,n per poi trovare gli autovalori sottraendo $\lambda$I e verificare se almeno uno degli stessi è negativo?

Per il punto (c) non saprei bene come procedere, avete dei consigli?

Grazie mille a tutt*!

[Raptorista1]

Ti sei bloccato nel punto più facile! Scrivi il metodo e sostituisci, no?

[VISCO]

Quanto detto in precedenza quindi è tutto corretto? Comunque più che bloccato ho dei dubbi, sicuramente è più semplice di quanto pensi.
Per Eulero implicito si ha che $y_(k+1)=y_k+h_kf(y_(k+1),t_(k+1))$
Quindi andando a sostituire:
1) v(0.1)=v(0)+0.1(-2v(0.1)+2m(0.1)+cos(0.1)) ---> v(0.1)=0.17m(0.1)+0.92
2) n(0.1)=n(0)+0.1(-u(0.1)+2n(0.1)+sen(0.1)) ---> n(0.1)=-0.125u(0.1)+0.0125

a questo punto mi rimarrebbero le incognite m(0.1) e u(0.1) e non saprei arrivare alla risoluzione del problema.

Grazie ancora della disponibilità

Ps. Scusate la sintassi ridicola ma devo ancora prenderci confidenza

[PadreBishop]

Con il sistema equivalente ti eri ricavato quattro equazioni, mentre nell'ultimo post ne stavi usando solo due.

Mettendo a sistema quattro equazioni e quattro incognite la possibilita' di trovare un vettore soluzione aumenta