Pareri su interpolazione polinomiale (volume dati notevole)
Salve gente,
considerato un notevole volume di dati XY che tipo di interpolazione polinomiale scegliereste, quella di Lagrange o di Newton??
Ho letto e non ricordo dove, che se però n è molto grande, il polinomio può avere un andamento troppo oscillante per rappresentare adeguamente la funzione. In questo caso è consigliato ricorrere a polinomi a tratti e tra questi, imponendo condizioni di regolarità, le splines.
Che ne pensate?? Potreste essere così gentili da motivarne la scelta??
Grazie..
considerato un notevole volume di dati XY che tipo di interpolazione polinomiale scegliereste, quella di Lagrange o di Newton??
Ho letto e non ricordo dove, che se però n è molto grande, il polinomio può avere un andamento troppo oscillante per rappresentare adeguamente la funzione. In questo caso è consigliato ricorrere a polinomi a tratti e tra questi, imponendo condizioni di regolarità, le splines.
Che ne pensate?? Potreste essere così gentili da motivarne la scelta??
Grazie..
Risposte
L'interpolazione di Lagrange usa, per $n$ dati, un polinomio di grado $n$ e quindi spesso altissimo e con andamento oscillante perché la curva passa esattamente per i punti dati, senza tener conto di eventuali errori di misura o di arrotondamento: la scarterei.
Meglio quella di Newton, che però richiede che i valori delle $x$ siano equispaziati. Questa interpolazione stessa suggerisce il grado dal polinomio; se risulta alto o se il risultato non soddisfa, si passa ad una definizione a tratti.
Non so nulla sulle splines, ma può saperlo qualche fisico sperimentale; se non consideri soddisfacenti che risposte che avrai qui, dillo e sposterò in fisica.
Meglio quella di Newton, che però richiede che i valori delle $x$ siano equispaziati. Questa interpolazione stessa suggerisce il grado dal polinomio; se risulta alto o se il risultato non soddisfa, si passa ad una definizione a tratti.
Non so nulla sulle splines, ma può saperlo qualche fisico sperimentale; se non consideri soddisfacenti che risposte che avrai qui, dillo e sposterò in fisica.
"giammaria":
se non consideri soddisfacenti che risposte che avrai qui, dillo e sposterò in fisica.
Io le ho fatte a lungo in analisi numerica 5 anni fa (e non ricordo nulla, ma questa è un'altra storia
): è solo per dirti che non so se la fisica è la più adatta.Magari chiedi un parere a un paio di moderatori (uno di fisica e uno della sezione di analisi numerica) e vedi la risposta migliore.
Premetto che conosco solo l'interpolazione di Lagrange, quella di Newton non l'abbiamo fatta al corso.
È vero che se interpoli su un intervallo troppo grande puoi avere effetti indesiderati; questo è noto come fenomeno di Runge.
Se ti interessa solamente avere una funzione interpolante, cioè che passi per tutti i punti \((x,y)\) in tuo possesso, allora la via maestra è l'interpolazione composita di Lagrange: suddividi l'intervallo di interpolazione in tanti sotto-intervalli e calcola la funzione interpolante su ciascuno di essi. Otterrai così un polinomio \(C^0\) globalmente e \(C^k\) a tratti, dove \(k\) è il grado del polinomio interpolante nei sotto-intervalli. È sconsigliato scegliere \(k > 3\).
Se invece ti serve che la funzione interpolante sia globalmente \(C^h\), \(h > 0\), allora devi ricorrere alle spline.
BTW, spostateci in Analisi Numerica, dove è giusto che stiamo.
È vero che se interpoli su un intervallo troppo grande puoi avere effetti indesiderati; questo è noto come fenomeno di Runge.
Se ti interessa solamente avere una funzione interpolante, cioè che passi per tutti i punti \((x,y)\) in tuo possesso, allora la via maestra è l'interpolazione composita di Lagrange: suddividi l'intervallo di interpolazione in tanti sotto-intervalli e calcola la funzione interpolante su ciascuno di essi. Otterrai così un polinomio \(C^0\) globalmente e \(C^k\) a tratti, dove \(k\) è il grado del polinomio interpolante nei sotto-intervalli. È sconsigliato scegliere \(k > 3\).
Se invece ti serve che la funzione interpolante sia globalmente \(C^h\), \(h > 0\), allora devi ricorrere alle spline.
BTW, spostateci in Analisi Numerica, dove è giusto che stiamo.
[xdom="giammaria"]Spostato[/xdom]
Ringrazio molto per l'interesse mostrato nel 3d... Dalle risposte che ho letto suppongo che dovrei effettuare dei test e valutarne il confronto fra Langrange e Newton, perché avete dato ragioni e motivazioni che si compensano... È chiaro che se dovessi qualora ridurre in "sezioni" l'analisi opterei sulle splines, che a quanto pare (letto in giro, ma non approfondito) sembri rispondere meglio... Il fatto è che non desidero trovarmi in situazione dove diversi metodi di analisi entrino in conflitto dandomi risultati che si contraddicono.
Sostanzialmente il range dei dati da analizzare e compreso tra 20 e 200 elementi.. Meno errori ho e meglio è..
Sostanzialmente il range dei dati da analizzare e compreso tra 20 e 200 elementi.. Meno errori ho e meglio è..
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