Ottimizzazione con Picard

[danidila]

Salve a tutti, ho un problema con lo svolgimento di questo esercizio. Devo trovare il valore delle due variabili I1 I2 tale che la funzione sia minima, usando come da titolo il metodo di picard. La funzione è la seguente:
Pat(I1, I2) =

11*I1 + (5*I2)/2 + (I2 - 1/500)*(500*I1 + 1000*I2 - 5/2) + (I1 - 1/1000)*(10000*I1 + 500*I2 - 11) - 2/125

Ora, andando a fissare una delle due variabili (a zero) e calcolando la derivata della funzione con una variabile fissata, mi trovo le due seguenti funzione derivate:
20000*I1 - 11
2000*I2 - 5/2

Il dubbio che mi sorge è: essendo la funzione lineare non contrattiva in quanto non rispetta le ipotesi di Banach-Caccioppoli, è possibile comunque minimizzarla oppure continuerà a divergere comunque io scelga un punto per iniziare l’algoritmo iterativo?

[feddy]

"Danidila":Salve a tutti, ho un problema con lo svolgimento di questo esercizio. Devo trovare il valore delle due variabili I1 I2 tale che la funzione sia minima, usando come da titolo il metodo di picard. La funzione è la seguente:
Pat(I1, I2) =

11*I1 + (5*I2)/2 + (I2 - 1/500)*(500*I1 + 1000*I2 - 5/2) + (I1 - 1/1000)*(10000*I1 + 500*I2 - 11) - 2/125

Per risolvere il problema, come intendi applicare l'algoritmo di Picard? Credo tu intenda applicarlo all'equazione $\nabla f(l_1,l_2)=(0,0)$. È questo ciò che intendi?

[feddy]

Giustamente credo tu voglia capire se l'algoritmo converge. Non ho fatto i conti, ma non mi pare tu stia controllando in modo corretto. Per utilizzare Picard devi porre il problema in forma "equivalente" come nel caso unodimensionale $$x = G(x)$$, dove $x=(l_1,l_2)$ e $G(x)$ è il gradiente della tua funzione. Ciò che devi controllare è che la jacobiana della funzione di iterazione abbia norma minore di 1 in un intorno del punto fisso. Meglio ancora se è $|| JG(x)||<1$ ovunque, in quel caso converge per ogni guess iniziale. Prova a fare i conti. E per favore scrivi usando i tag appositi per leggere il post in LaTeX