ODE con Fourier, parità e disparità del secondo membro
Salve,
Consideriamo un' equazione differenziale del tipo:
$y''+y=f(x)$
Supponiamo che $f$ sia pari (dispari).
In questi casi si ipotizza (almeno nel mio testo) che anche $y$ e $y''$ siano pari (dispari); con conseguente sviluppo semplificato della serie di Fourier.
Il che sembrerebbe corretto dato che la derivata seconda di una funzione pari (dispari) è pari (dispari), e che, la somma di due funzioni pari (dispari) è pari (dispari).
Però facendo un altro esercizio ($7y'-y=f(x)$ con $f$ dispari) mi sono accorto che anche due funzioni ne pari ne dispari sommate possono dare una funzione dispari (suppongo anche pari).
Allora nella prima equazione differenziale l'ipotesi iniziale non sarebbe troppo restrittiva? Si esclude che $y''$ e $y$ possano essere ne pari ne dispari
Consideriamo un' equazione differenziale del tipo:
$y''+y=f(x)$
Supponiamo che $f$ sia pari (dispari).
In questi casi si ipotizza (almeno nel mio testo) che anche $y$ e $y''$ siano pari (dispari); con conseguente sviluppo semplificato della serie di Fourier.
Il che sembrerebbe corretto dato che la derivata seconda di una funzione pari (dispari) è pari (dispari), e che, la somma di due funzioni pari (dispari) è pari (dispari).
Però facendo un altro esercizio ($7y'-y=f(x)$ con $f$ dispari) mi sono accorto che anche due funzioni ne pari ne dispari sommate possono dare una funzione dispari (suppongo anche pari).
Allora nella prima equazione differenziale l'ipotesi iniziale non sarebbe troppo restrittiva? Si esclude che $y''$ e $y$ possano essere ne pari ne dispari
Risposte
E' una domanda giustissima. Vediamo se l'ipotesi che $y$ sia pari e' corretta.
Ogni funzione puo' essere scomposta in una funzione pari e una dispari.
$f(x) = f_p(x) + f_d(x)$
secondo questo schema:
$f_p(x) = 1/2 (f(x)+f(-x))$
$f_d(x) = 1/2 (f(x)-f(-x))$
Quindi possiamo scrivere
$y_d^{''}+y_d+y_p^{''}+y_p = f_d +f_p$
dove $f_d = 0$ come si deduce dalla definizione del problema ($f$ e' pari).
Quindi
$y_d^{''}+y_d+y_p^{''}+y_p = f_p$.
Anche
$y_p^{''}+y_p = f_p$
siccome la somma di funzioni pari da una funzione pari, come hai gia' detto tu.
Ma allora
$y_d^{''}+y_d = 0$
che ha come unica soluzione $y_d = 0$.
Quindi e' corretto assumere che $y$ sia pari.
Ogni funzione puo' essere scomposta in una funzione pari e una dispari.
$f(x) = f_p(x) + f_d(x)$
secondo questo schema:
$f_p(x) = 1/2 (f(x)+f(-x))$
$f_d(x) = 1/2 (f(x)-f(-x))$
Quindi possiamo scrivere
$y_d^{''}+y_d+y_p^{''}+y_p = f_d +f_p$
dove $f_d = 0$ come si deduce dalla definizione del problema ($f$ e' pari).
Quindi
$y_d^{''}+y_d+y_p^{''}+y_p = f_p$.
Anche
$y_p^{''}+y_p = f_p$
siccome la somma di funzioni pari da una funzione pari, come hai gia' detto tu.
Ma allora
$y_d^{''}+y_d = 0$
che ha come unica soluzione $y_d = 0$.
Quindi e' corretto assumere che $y$ sia pari.
"Quinzio":
E' una domanda giustissima. Vediamo se l'ipotesi che $y$ sia pari e' corretta.
Ogni funzione puo' essere scomposta in una funzione pari e una dispari.
$f(x) = f_p(x) + f_d(x)$
secondo questo schema:
$f_p(x) = 1/2 (f(x)+f(-x))$
$f_d(x) = 1/2 (f(x)-f(-x))$
Quindi possiamo scrivere
$y_d^{''}+y_d+y_p^{''}+y_p = f_d +f_p$
dove $f_d = 0$ come si deduce dalla definizione del problema ($f$ e' pari).
Quindi
$y_d^{''}+y_d+y_p^{''}+y_p = f_p$.
Anche
$y_p^{''}+y_p = f_p$
siccome la somma di funzioni pari da una funzione pari, come hai gia' detto tu.
Ma allora
$y_d^{''}+y_d = 0$
che ha come unica soluzione $y_d = 0$.
Quindi e' corretto assumere che $y$ sia pari.
Quindi applicando ciò al secondo caso/esercizio $7y'-y=f_d$ si avrebbe una relazione del tipo: $y'_p+y_p=0$ che evidentemente $bb(non)bb$ ha come unica soluzione $y_p=0$, giusto?
Giusto.
Credo che si debba precisare qualcosa di più riguardo le condizioni iniziali. Ad esempio
y" + y =x
con y(0)=1, y'(0)=1.
ha come soluzione y=cos(x)+x che non è nè pari nè dispari, pur essendo f(x)=x dispari
Credo che si debba precisare qualcosa di più riguardo le condizioni iniziali. Ad esempio
y" + y =x
con y(0)=1, y'(0)=1.
ha come soluzione y=cos(x)+x che non è nè pari nè dispari, pur essendo f(x)=x dispari
"AnalisiZero":
Quindi applicando ciò al secondo caso/esercizio $7y'-y=f_d$ si avrebbe una relazione del tipo: $y'_p+y_p=0$ che evidentemente $bb(non)bb$ ha come unica soluzione $y_p=0$, giusto?
Direi di no, ma onestamente non capisco come hai fatto ad arrivare alla conclusione.
Tieni conto che la derivata prima di una funzione pari e' una funzione dispari e viceversa.
Per cui l'esempio $7y'-y=f_d$ non porta a nessuna conclusione.
Ovvero
$7y_1^{\prime} + 7y_2^{\prime}- y_1 - y_2 = f_d$
di cui ipotizziamo che $y_1$ sia pari e $y_2$ sia dispari.
Non si possono usare i pedici $p$ e $d$ in $y_p$ e $y_d$ come ho fatto prima perche' altrimenti c'e' confusione con le derivate prime, siccome la funzione pari ha derivata dispari e viceversa, per cui non si capisce piu' chi e' chi. Le due funzioni vanno chiamate $y_1$ e $y_2$.
Quindi partendo da questa
$7y_1^{\prime} + 7y_2^{\prime}- y_1 - y_2 = f_d$
tengo solo le funzioni dispari e arrivo a questo:
$7y_1^{\prime} - y_2 = f_d$.
Ma a questo punto non posso piu' fare nessuna conclusione, siccome, come hai detto giustamente, due funzioni generiche sommate possono fare una funzione dispari (o pari).
L'esercizio di partenza $y^{''}+y = f(x)$ permette di arrivare alla conclusione che $y$ puo' solo essere pari perche' la derivata seconda mantiene la sua parita' (dispari o pari), cioe' funzioni pari(dispari) hanno derivata seconda pari(dispari).
"Quinzio":
[quote="AnalisiZero"]
Quindi applicando ciò al secondo caso/esercizio $7y'-y=f_d$ si avrebbe una relazione del tipo: $y'_p+y_p=0$ che evidentemente $bb(non)bb$ ha come unica soluzione $y_p=0$, giusto?
Direi di no, ma onestamente non capisco come hai fatto ad arrivare alla conclusione.
Tieni conto che la derivata prima di una funzione pari e' una funzione dispari e viceversa.
Per cui l'esempio $7y'-y=f_d$ non porta a nessuna conclusione.
Ovvero
$7y_1^{\prime} + 7y_2^{\prime}- y_1 - y_2 = f_d$
di cui ipotizziamo che $y_1$ sia pari e $y_2$ sia dispari.
Non si possono usare i pedici $p$ e $d$ in $y_p$ e $y_d$ come ho fatto prima perche' altrimenti c'e' confusione con le derivate prime, siccome la funzione pari ha derivata dispari e viceversa, per cui non si capisce piu' chi e' chi. Le due funzioni vanno chiamate $y_1$ e $y_2$.
Quindi partendo da questa
$7y_1^{\prime} + 7y_2^{\prime}- y_1 - y_2 = f_d$
tengo solo le funzioni dispari e arrivo a questo:
$7y_1^{\prime} - y_2 = f_d$.
Ma a questo punto non posso piu' fare nessuna conclusione, siccome, come hai detto giustamente, due funzioni generiche sommate possono fare una funzione dispari (o pari).
L'esercizio di partenza $y^{''}+y = f(x)$ permette di arrivare alla conclusione che $y$ puo' solo essere pari perche' la derivata seconda mantiene la sua parita' (dispari o pari), cioe' funzioni pari(dispari) hanno derivata seconda pari(dispari).[/quote]
Questa parte credo di averla capita. La conclusione a cui arrivo è la stessa a cui arrivi tu ma scritta con i pedici diversi, cioè l'annullamento delle "componenti" pari.
A questo punto però mi chiedo come si spiega l'esempio proposto da ingres:
"ingres":
Giusto.
Credo che si debba precisare qualcosa di più riguardo le condizioni iniziali. Ad esempio
y" + y =x
con y(0)=1, y'(0)=1.
ha come soluzione y=cos(x)+x che non è nè pari nè dispari, pur essendo f(x)=x dispari
Dovrebbe essere $y''+y=x$ quindi $y''+y=f_dleftrightarrowy''_p+y''_d+y_p+y_d=f_d$
Che porta a $y''_p+y_p=0$ con soluzione diversa da $y_p=0$
Credo che si debba aggiungere la condizione che l'eventuale funzione pari (dispari) debba essere in grado di soddisfare le condizioni iniziali. Ovvero riferito all'esempio del secondo ordine dovrà anche essere rispettata la condizione:
$y_p'(0)=y'(0)$
$y_p(0)=y(0)$
In tal caso risulta
$y''_d + y_d=0$
con
$y_d'(0)=0$
$y_d(0)=0$
e solo in questo caso la soluzione è $y_d=0$
Nell'esempio che ho portato se fosse stato y(0)=0 la soluzione y=x sarebbe stata la soluzione corretta.
$y_p'(0)=y'(0)$
$y_p(0)=y(0)$
In tal caso risulta
$y''_d + y_d=0$
con
$y_d'(0)=0$
$y_d(0)=0$
e solo in questo caso la soluzione è $y_d=0$
Nell'esempio che ho portato se fosse stato y(0)=0 la soluzione y=x sarebbe stata la soluzione corretta.
Riguardo alle condizioni iniziali mi sono accorto di una cosa:
Quando in un esercizio viene chiesto di risolvere con le serie di Fourier un'equazione differenziale, non vengono fornite condizioni iniziali, ma solo l'intervallo di variazione della variabile (ovviamente necessario).
Quindi il discorso deve essere indipendente dalle condizioni iniziali, giusto?
Quando in un esercizio viene chiesto di risolvere con le serie di Fourier un'equazione differenziale, non vengono fornite condizioni iniziali, ma solo l'intervallo di variazione della variabile (ovviamente necessario).
Quindi il discorso deve essere indipendente dalle condizioni iniziali, giusto?
Vuol dire che in pratica non chiedono la soluzione generale dell'equazione, ma solo di trovare la soluzione particolare con Fourier.
In questo caso puoi prescindere dalle condizioni iniziali.
In questo caso puoi prescindere dalle condizioni iniziali.
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