Normwise backward error

[teresamat1]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi questo teorema?

Theorem: The normwise backward error
$\eta_(E,f) (y) := min{ e : (A + \Delta A)y = b + \Delta b, ||\Delta A|| <= e||E||, ||\Delta b||<=e||f|| }$
is given by
$\eta_(E,f) (y)= ||r||/(||E|| ||y|| +||f||)$ (7.2)
where $r = b - Ay$.

Proof: It is straightforward to show that the right-hand side of (7.2) is a lower bound for $\eta_(E,f) (y)$.
This lower bound is attained for the perturbations
$\Delta A_min= (||E||||y||)/(||E|| ||y||+||f||)rz^T$ , $\Deltab_min=-||f||/(||E|| ||y||+||f||)r$,
where z is a vector dual to y.

[Raptorista1]

Sembra avere a che fare con la propagazione dell'errore sui dati, ma non è chiaro.... Chi è \(E\)?

[teresamat1]

Prima del teorema dice che $E$ ed $f$ sono arbitrari e rappresentano delle tolleranze rispetto cui le perturbazioni sono misurate. Successivamente precisa che nel caso particolare in cui $E=A$ e $f=b$, $\eta_(E,f) (y)$ è chiamato normwise relative backward error.

[Raptorista1]

\(\eta\) è la minima perturbazione sui dati [fattore di scala] affinché \(y\) sia soluzione del sistema perturbato, dopo aver fissato le incertezze [\(E,f\)] sui dati stessi [che credo rappresentino errori di misura].
Lo so che non è molto chiaro, ma tutta la domanda è abbastanza oscura...