Norma matriciale indotta

[lucia88]

Ciao a tutti,
ho un problema nel capire perchè la norma indotta: $||A||= su p ||Ax||/||x||$ con x diverso da zero
è uguale a $||A||=max_{||u||=1}||Au||$ ( tra l'altro su un altro testo ho trovato $||A||= s up_{||u||=1}||Au||$ ... quale delle due formule è più corretta?)

Stavo provando a dimostrarlo così:

$||A||= su p ||Ax||/||x||$ è equivalente a scrivere $||A||= su p_{||x=1||} ||Ax|$ cioè considero x come vettore unitario
e $u=x/||x||$ dunque $x=u||x||$
Quindi posso scrivere $||A||=s up_{||x||=x/u=1} ||A(u ||x||) || =s up_{||x||=x/u=1} ||Au|| $

Poi come posso continuare per dimostrare l'uguaglianza tra le due espressioni?
Grazie !

[gugo82]

Se stai operando con matrici, cioé con operatori lineari tra spazi finito-dimensionali, le espressioni:
\[
\max_{|\mathbf{u}|=1} |A\mathbf{u}| \qquad \text{e}\qquad \sup_{|\mathbf{u}|=1} |A\mathbf{u}|
\]
sono del tutto equivalenti.
Infatti, poiché l'insieme \(\Gamma:=\{\mathbf{u}\in \mathbb{R}^N:\ |\mathbf{u}|=1\}\) è compatto e poiché l'applicazione vettoriale \(\mathcal{A}:\mathbb{R}^N\ni \mathbf{u}\mapsto A\mathbf{u}\in \mathbb{R}^M\) è continua, il teorema di Weierstrass ti assicura che la funzione numerica \(|\mathcal{A}(\mathbf{u})|:=|A\mathbf{u}|\), che è continua da \(\mathbb{R}^N\) in \(\mathbb{R}\), è dotata di massimo assoluto su \(\Gamma\), il quale coincide necessariamente con l'estremo superiore su \(\Gamma\).

Tuttavia, quando si lavora con spazi vettoriali aventi dimensione non finita (e.g., gli spazi di Hilbert o di Banach tipici dell'Analisi), l'insieme \(\Gamma\) costituito dai vettori unitari non è compatto; quindi, in questi casi, è necessario usare il simbolo \(\sup\) (perché il \(\max\) potrebbe non esistere, i.e. l'estremo superiore potrebbe non essere raggiunto in alcun punto di \(\Gamma\)).
Conseguentemente, in generale, è preferibile scrivere la definizione di norma usando l'estremo superiore.

Per provare che vale l'uguaglianza:
\[
\tag{1}
\sup_{|\mathbf{u}|=1} |A\mathbf{u}| = \sup_{\mathbf{v}\neq \mathbf{0}} \frac{|A\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}
\]
basta ragionare usando l'omogeneità del modulo e del prodotto riga-colonna: infatti, poiché per \(\mathbf{v}\neq 0\) si ha \(\left| \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\right|=1\), si vede che:
\[
\forall \mathbf{v}\neq \mathbf{0},\quad \frac{|A\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|} = \left| A\ \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\right| \leq \sup_{|\mathbf{u}|=1} |A\mathbf{u}|
\]
e da ciò segue:
\[
\tag{2}
\sup_{\mathbf{v}\neq \mathbf{0}} \frac{|A\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|} \leq \sup_{|\mathbf{u}|=1} |A\mathbf{u}|\; ;
\]
d'altra parte, dato che ogni \(\mathbf{u}\in \Gamma\) è necessariamente \(\neq \mathbf{0}\), si ha:
\[
\forall \mathbf{u}\in \Gamma,\quad |A\mathbf{u}| =\frac{|A\mathbf{u}|}{|\mathbf{u}|}\leq \sup_{\mathbf{v}\neq \mathbf{0}} \frac{|A\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}\; ,
\]
da cui:
\[
\tag{3}
\sup_{|\mathbf{u}|=1} |A\mathbf{u}|\leq \sup_{\mathbf{v}\neq \mathbf{0}} \frac{|A\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}\; .
\]
L'uguaglianza (1) segue confrontando le disuguaglianze (2) e (3).