Minimi quadrati

[Ardenzio]

Salve a tutti, ho problemi con il seguente esercizio:

trovare la retta di regressione che approssima i punti P0(-2,2) P1(-1,1) P2(1,-1)

Calcolare l'errore dell'approssimazione.

Ora io ho travato che la retta è y = -7/11 x + 12/11.
Come faccio a calcolare l'errore?

Grazie

[astrolabio95]

Ciao,
premetto di non avere basi di statistica o altro...

Ti posto il mio codice su quello che ricordo circa l'interpolazione lineare...

clc; clear

xx  = linspace(-2,1,3);   %Mesh grafico su cui interpolare

x   = [ -2  -1   1 ];     %Punti da interpolare
y   = [  2   1  -1 ];

ya  = -(7/11)*x + 12/11;  %Funzione interpolante fornita

ym  = spline(x, y, xx);   %Funzione interpolante di MatLab

err = norm(ym - ya, inf); %Errore 

%Grafica
figure();
plot (x, y, '.r', 'markersize', 20); grid on; hold on;
plot( xx, ym, 'b'); hold on; 
plot (x, ya, 'k.-'); 
title('Interpolazione lineare');
legend('Punti da interpolare', 'Interpolazione numerica', ...
    'Interpolazione analitica');
text (-1.75, -0.35, ['Errore = ', num2str(err)]);
xlabel('x');
ylabel('y');

[Raptorista1]

"Ardenzio":
Come faccio a calcolare l'errore?

L'errore in un punto è il modulo della differenza tra il valore esatto ed il valore interpolato. L'errore totale è la somma dell'errore nei singoli punti.

[Bokonon]

"Raptorista":
L'errore in un punto è il modulo della differenza tra il valore esatto ed il valore interpolato. L'errore totale è la somma dell'errore nei singoli punti.

Per quanto essa sia una possibile misura della dispersione, in questo caso violerebbe l'idea stessa del metodo che è quello di minimizzare i quadrati delle distanze (proprio per evitare di dover usare le differenze in modulo).
Nel metodo dei minimi quadrati la varianza totale della variabile dipendente viene scomposta nella somma fra la varianza spiegata dal modello + la varianza dovuta alla dispersione (l'errore). Da qua si definisce anche l'indice di correlazione lineare.
Quindi l'errore è la radice della varianza di dispersione, ovvero la radice della media della somma dei quadrati delle distanza fra i valori campionati e quelli interpolati.

[feddy]

@astrolabio un commento. Come fai ad essere sicuro che la funzione "spline" di MatLab faccia esattamente quello che richiede l'OP? Ovvero, minimizzare la somma dei quadrati residui?

Te lo chiedo perché in genere in un corso di numerica per trovare la retta dei minimi quadrati si passa per equazioni normali o comunque si risolvono sistemi lineari !

[Raptorista1]

@Bokonon: ho dimenticato il quadrato, vero!