Migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati.
Ciao a tutti, potete aiutarmi ad impostare questo esercizio.
Data la tabulazione $x=[1, 2 ,3, 4, 5]$ e $y= [ 3, 6, 7, 3, 4 ]$ dai l'espressione della sua distanza
nel senso dei minimi quadrati da una cubica generica.
Ho pensato di utilizzare la norma2 per funzioni $ || f( x ) || =( sum( f( x i )^2 )) ^(1/2) $ ma non riesco a capire cosa ci va dentro. Mettendo solamente le f(x) ho un valore ma che non ha nulla a che vedere con la cubica generica (Potrebbe essere una retta o una parabola o qualsiasi altra espressione polinomiale). In poche parole non riesco a inserire l' informazione sul tipo di curva nell' espressione della distanza.
Data la tabulazione $x=[1, 2 ,3, 4, 5]$ e $y= [ 3, 6, 7, 3, 4 ]$ dai l'espressione della sua distanza
nel senso dei minimi quadrati da una cubica generica.
Ho pensato di utilizzare la norma2 per funzioni $ || f( x ) || =( sum( f( x i )^2 )) ^(1/2) $ ma non riesco a capire cosa ci va dentro. Mettendo solamente le f(x) ho un valore ma che non ha nulla a che vedere con la cubica generica (Potrebbe essere una retta o una parabola o qualsiasi altra espressione polinomiale). In poche parole non riesco a inserire l' informazione sul tipo di curva nell' espressione della distanza.
Risposte
Sono un po’ arrugginito con queste come comunque provo a ragionarci sopra.
Immagino che con cubica generica si intenda \(fx = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\).
Devi quindi minimizzare \(\lVert\mathbf{y} - f\mathbf{x}\rVert_2\), che non è altro della discretizzazione della norma integrale tra funzioni.
Notiamo quindi che
\begin{align} \min \lVert\mathbf{y} - f\mathbf{x}\rVert_2^2 &= \min \bigl( \lVert\mathbf{y}\rVert_2^2 + \lVert f\mathbf{x}\rVert_2^2 - 2 \langle \mathbf{y} , f\mathbf{x} \rangle \bigr) \\
&= \min \bigl( \lVert f\mathbf{x}\rVert_2^2 - 2 \langle \mathbf{y} , f\mathbf{x} \rangle \bigr) \\
&= \min \Bigl( \sum_{i=0}^3 a_i^2\lVert\mathbf{x}^i\rVert_2^2 + 2\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=i+1}^3 a_ia_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2\sum_{i=0}^{3} a_i\langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \Bigr) \\
&= \min \Bigl( 2\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=i+1}^3 a_ia_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2\sum_{i=0}^{3} a_i\langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \Bigr)
\end{align}
dove con \(\mathbf{x}^i\) intendo la funzione che eleva a \(i\) ogni componente.
La funzione \(\displaystyle E = 2\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=i+1}^3 a_ia_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2\sum_{i=0}^{3} a_i\langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \) è continua nelle variabili \(a_i\). Per minimizzare pertanto derivo e impongo che la derivata si annulli.
\begin{align}\displaystyle\frac{\partial E}{\partial a_i} &= 2\sum_{j=0}^3 a_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2 \langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \\
&= 2\langle \mathbf{x}^i, f\mathbf{x} - \mathbf{y}\rangle
\end{align}
Sper di non aver fatto errori
In ogni caso quello che hai lì è un sistema lineare nella \(a_i\).
Immagino che con cubica generica si intenda \(fx = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\).
Devi quindi minimizzare \(\lVert\mathbf{y} - f\mathbf{x}\rVert_2\), che non è altro della discretizzazione della norma integrale tra funzioni.
Notiamo quindi che
\begin{align} \min \lVert\mathbf{y} - f\mathbf{x}\rVert_2^2 &= \min \bigl( \lVert\mathbf{y}\rVert_2^2 + \lVert f\mathbf{x}\rVert_2^2 - 2 \langle \mathbf{y} , f\mathbf{x} \rangle \bigr) \\
&= \min \bigl( \lVert f\mathbf{x}\rVert_2^2 - 2 \langle \mathbf{y} , f\mathbf{x} \rangle \bigr) \\
&= \min \Bigl( \sum_{i=0}^3 a_i^2\lVert\mathbf{x}^i\rVert_2^2 + 2\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=i+1}^3 a_ia_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2\sum_{i=0}^{3} a_i\langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \Bigr) \\
&= \min \Bigl( 2\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=i+1}^3 a_ia_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2\sum_{i=0}^{3} a_i\langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \Bigr)
\end{align}
dove con \(\mathbf{x}^i\) intendo la funzione che eleva a \(i\) ogni componente.
La funzione \(\displaystyle E = 2\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=i+1}^3 a_ia_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2\sum_{i=0}^{3} a_i\langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \) è continua nelle variabili \(a_i\). Per minimizzare pertanto derivo e impongo che la derivata si annulli.
\begin{align}\displaystyle\frac{\partial E}{\partial a_i} &= 2\sum_{j=0}^3 a_j\langle \mathbf{x}^i, \mathbf{x}^j\rangle - 2 \langle \mathbf{y} , \mathbf{x}^i \rangle \\
&= 2\langle \mathbf{x}^i, f\mathbf{x} - \mathbf{y}\rangle
\end{align}
Sper di non aver fatto errori
In ogni caso quello che hai lì è un sistema lineare nella \(a_i\).
ok con la cubica $ fx = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $ .
Ma quando scrivi
non si si può sintettizzare in questo modo:
Devo trovare $a_3,a_2,a_1,a_0$ che minimizzano la distanza e quindi
$dist-min(a_3,a_2,a_1,a_0)= (sum_(i=1)^n(y_i- a_3x_i^3+a_2x_i^2+a_1x_i+a_0)^2)^(1/2)$.
Il testo non mi chiede di determinare i paramentri riconducendo a un sistema lineare per ricavare i parametri della cubica, ma solo di dare l' espressione della distanza o sbaglio?
Ma quando scrivi
"vict85":
Devi quindi minimizzare ∥y−fx∥2
non si si può sintettizzare in questo modo:
Devo trovare $a_3,a_2,a_1,a_0$ che minimizzano la distanza e quindi
$dist-min(a_3,a_2,a_1,a_0)= (sum_(i=1)^n(y_i- a_3x_i^3+a_2x_i^2+a_1x_i+a_0)^2)^(1/2)$.
Il testo non mi chiede di determinare i paramentri riconducendo a un sistema lineare per ricavare i parametri della cubica, ma solo di dare l' espressione della distanza o sbaglio?
Si, se devi solo calcolare la distanza ti basta quella.
Ok, grazie.
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