Metodo iterativo monotono o alternato
Domanda lampo: se io ho un metodo iterativo dato da $x_{n+1} = \Phi(x_n)$ per il calcolo della radice $\alpha$ di un'equazione $f(x) = 0$ e voglio sapere se la successione definita dal metodo è monotona o alternata, devo controllare il segno di $\Phi'(x)$ in un intorno di $\alpha$; se $\Phi'(\alpha) > 0$ allora il metodo è monotono, e se $\Phi'(\alpha) < 0$ allora il metodo è alternato.
Ora il dubbio...
Supponiamo di essere nel caso in cui $\Phi'(\alpha) = 0$; e supponiamo che $\Phi'(x) > 0$ in $(\alpha - \delta , \alpha)$ e $\Phi'(x)< 0$ in $(\alpha , \alpha + \delta)$, allora il metodo è monotono in un intorno sinistro ed è alternato in un intorno destro?
Ora il dubbio...
Supponiamo di essere nel caso in cui $\Phi'(\alpha) = 0$; e supponiamo che $\Phi'(x) > 0$ in $(\alpha - \delta , \alpha)$ e $\Phi'(x)< 0$ in $(\alpha , \alpha + \delta)$, allora il metodo è monotono in un intorno sinistro ed è alternato in un intorno destro?
Risposte
Secondo me, no.
Hai detto, e mi fido, che se \(\Phi'(\alpha) < 0\) allora il metodo è alternato, il che significa che se parto da un punto che rispetta questa caratteristica, cioè una certa \(x^0 \in (\alpha, \alpha+\delta)\), allora al passaggio successivo mi ritrovo in un punto "dall'altra parte", cioè \(x^1 \in (\alpha - \delta, \alpha)\).
Ma qui \(\Phi'(x) > 0\) e quindi la convergenza diventa monotona.
Ti convince?
Hai detto, e mi fido, che se \(\Phi'(\alpha) < 0\) allora il metodo è alternato, il che significa che se parto da un punto che rispetta questa caratteristica, cioè una certa \(x^0 \in (\alpha, \alpha+\delta)\), allora al passaggio successivo mi ritrovo in un punto "dall'altra parte", cioè \(x^1 \in (\alpha - \delta, \alpha)\).
Ma qui \(\Phi'(x) > 0\) e quindi la convergenza diventa monotona.
Ti convince?
Avevo pensato la medesima cosa. Grazie della risposta. 
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