Metodo iterativo generico
Se si considera il seguente metodo iterativo per risolvere un sistema lineare
[tex]x^{(k+1)} = \frac{1}{45}Rx^{(k)} + b[/tex]
dove R è una matrice di ordine n=5 i cui elementi sono tutti minori o uguali a 3.
Verificare se il metodo converge.
Ho provato ad imporre la seguente condizione:
Il metodo converge se il raggio spettrale di R , [tex]\rho(R) < 1[/tex] ma non ho tante informazioni sulla matrice R quindi non posso neanche utilizzare la maggiorazione
[tex]\rho(R) \leq ||R||[/tex] per ogni norma di Matrice compatibile con una norma di vettore
infatti se volessi calcolare la norma infinito
[tex]||R||_{\infty} = \max _{1\leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left | r_{ij} \right |[/tex]
o la norma 1
[tex]||R||_{1} = \max _{1\leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n}\left | r_{ij} \right |[/tex]
Non conosco i moduli degli elementi [tex]r_{ij}[/tex] della matrice di iterazione R.
Qualcuno potrebbe indicarmi la strada da seguire ?
[tex]x^{(k+1)} = \frac{1}{45}Rx^{(k)} + b[/tex]
dove R è una matrice di ordine n=5 i cui elementi sono tutti minori o uguali a 3.
Verificare se il metodo converge.
Ho provato ad imporre la seguente condizione:
Il metodo converge se il raggio spettrale di R , [tex]\rho(R) < 1[/tex] ma non ho tante informazioni sulla matrice R quindi non posso neanche utilizzare la maggiorazione
[tex]\rho(R) \leq ||R||[/tex] per ogni norma di Matrice compatibile con una norma di vettore
infatti se volessi calcolare la norma infinito
[tex]||R||_{\infty} = \max _{1\leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left | r_{ij} \right |[/tex]
o la norma 1
[tex]||R||_{1} = \max _{1\leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n}\left | r_{ij} \right |[/tex]
Non conosco i moduli degli elementi [tex]r_{ij}[/tex] della matrice di iterazione R.
Qualcuno potrebbe indicarmi la strada da seguire ?
Risposte
"gianpie":
\( ||R||_{\infty} = \max _{1\leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left | r_{ij} \right | \)
o la norma 1
\( ||R||_{1} = \max _{1\leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n}\left | r_{ij} \right | \)
Non conosco i moduli degli elementi \( r_{ij} \) della matrice di iterazione R.
Qualcuno potrebbe indicarmi la strada da seguire ?
Però sai che $||R||_{1}$ e $||R||_{\infty}$ sono minori o uguali a $15$.
"Lory314":
Però sai che $||R||_{1}$ e $||R||_{\infty}$ sono minori o uguali a $15$.
Gli elementi di R, purtroppo, non sono limitati in modulo !
Azz...hai ragione, scusa! L'idea che avevo era di provare a verificare se $|| x^{k+1} - x^k||$ tende a 0 per $k \to \infty$ utilizzando qualche maggiorazione, però senza avere la maggiorazione in modulo non penso funzioni...
Qualcuno sa aiutarmi ?
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