Metodo di Newton (dimostrazione)

[indovina]

Vorrei sapere se è questa la legge di ricorrenza per il metodo di Newton:
messo a sistema:
$x_0=a$
$x_(n+1)=x_(n)-(f(x_n))/(f'x_n)$

il metodo di newton praticamente serve per approssimare il valore di $alpha$ che è d'intersezione tra la curva e l'asse $x$, quando si

vuole risolvere una equazione del genere: $f(x)=0$?

e il primo passaggio che si fa è quello di linearizzare la $f(x)$ con la tangente $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

poi si pone: $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=0$

così da ricavare $x_1=x_0-(f(x_0))/(f'(x_0))$

poi si itera sempre, per arrivare a stabilire quella legge di ricorrenza.

va bene così?

[Steven11]

[mod="Steven"]Sposto in "Analisi numerica".[/mod]

Questa figura è abbastanza indicativa: click.

Questa più che una dimostrazione è l'illustrazione dell'algoritmo. E' abbastanza intuitivo vedere che la successione tende alla soluzione dell'equazione.
Dimostrarlo rigorosamente è anche abbastanza facile, d'altra parte: non so a che livello ti serve, se ti basta l'illustrazione o no.

[indovina]

Analisi 1.
E' nel capitolo delle derivate.
Io credo che vada bene quello che ho trovato sul libro.
E c'è proprio la figura da te riportata.
Mi hai rassicurato, grazie

[Steven11]

Se il libro mostra solo quest'aspetto, senza soffermarsi sulla convergenza del metodo o sulla stima dell'errore, direi che possa bastare quanto detto. Sicuramente in un corso di Analisi numerica entreranno più nel dettaglio.

Ciao.

[asromavale1]

riporto la dimostrazione del seguente teorema fiducioso nella risposta di qualcuno ai miei dubbi.
Teorema: sia $f(x)$ una funzione derivabile in $[a,b]$,con derivata continua, e sia convessa in tale intervallo.supponiamo che $f(a)<0,f(b)>0$ e che $f'(x)>0$ per ogni $x in [a,b]$. Allora la successione $x_n$ definita per ricorrenza dalla (1), converge decrescendo all' unica soluzione $x_0 in [a,b]$ dell' equazione $f(x)=0$.
(1) $x_1=b$ , $x_(n+1)=x_n-(f(x_n))/(f'(x_n)$

dimostrazione : per il teorema di esistenza degli zeri esiste in $[a,b]$ una soluzione $x_0$ dell' equazione $f(x)=0$. Dato che $f'(x)>0$ per ogni $x in [a,b]$, la funzione è strettamente crescente e quindi l' equazione $f(x)=0$ ammette $x_0$ come unica soluzione in $[a,b]$.
proviamo che $x_n>=x_0$ per ogni $n$. Per $n=1$ la relazione è vera, infatti $x_1=b>=x_0$. Per $n>1$ utilizziamo la convessità di $f(x)$:
(2) $f(x)>=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$, $AA x in [a,b]$

ponendo $x=x_(n+1)$ e ricordando che $x_(n+1)-x_n=(f(x_n))/(f'(x_n)$, otteniamo
(3) $ f(x_n+1)>=f(x_n)+f'(x_n)(x_(n+1)-x_n)=f(x_n)+f'(x_n)[-(f(x_n))/(f'(x_n))]=0$.

perciò $ f(x_n+1)>=0$;dato che la funzione è positiva in $(x_0,b]$ ed è negativa in $[a,x_0)$, risulta $x_(n+1) in [x_0,b]$; cioè in particolare è $x_(n+1)>=x_0$ (e qui il mio primo dubbio. perchè risulta $x_(n+1) in [x_0,b]$ non potrebbe essere che qualche valore di $x_(n+1)$ sia maggiore di $b$? Ho pensato che il ragionamento che è stato fatto non farebbe una piega se la successione $x_(n+1)$ fosse limitata ad $[a,b]$ ma nelle ipotesi non ho questa condizione,quindi come me lo spiego ?)proseguo con la dimostrazione:verifichiamo che la successione $x_n$ è decrescente:essendo $x_n>x_0$, risulta $f(x_n)>=0$. inoltre per ipotesi $f'(x_n)>0$;perciò
(4) $x_(n+1)=x_n-(f(x_n))/(f'(x_n))<=x_n$ , $AA n in N$

Per il teorema sulle successioni monotone,esiste il limite per $n\rightarrow+oo$ di $x_n$.
indichiamo tale limite con $ bar(x) $ $in [x_0,b]$ ( e qui il mio secondo dubbio : perchè tale limite dovrebbe stare tra $ [x_0,b]$ ?);risulta
(5) $ bar(x) =lim_(n -> +oo)x_(n+1)=lim_(n -> +oo) (x_n-(f(x_n))/(f'(x_n) ))= bar(x)-(f(bar(x)))/(f'(bar(x)) ) $

ne segue che $f( bar(x))=0$. dato che $f(x)=0$ ha un' unica soluzione nell' intervallo $[a,b]$, risulta $ bar(x) =x_0$ quindi $x_n$ converge ad $x_0$ per $n\rightarrow+oo$

grazie in anticipo