Metodo di Newton
Salve a tutti,avrei dei dubbi circa questo metodo per trovare gli zeri di una funzione.Innanzitutto,nelle ipotesi dobbiamo avere che x0 deve essere sufficientemente vicino allo zero,se così non fosse cosa accadrebbe?E inoltre,dato che l'ordine di convergenza atteso è quello di grado 2,a cosa è dovuto che a volte otteniamo un ordine di convergenza minore o inferiore a quello atteso?
Risposte
"Jt1995":
Innanzitutto,nelle ipotesi dobbiamo avere che x0 deve essere sufficientemente vicino allo zero,se così non fosse cosa accadrebbe?
mmmhhh questa cosa proprio non mi torna...che io sappia serve la condizione che il segno della derivata seconda nell'intervallo $[x_(0);0]$ sia uguale al segno di $f(x_(0))$...
e mi sembra logico, se pensi a come funziona il metodo....
invece sulla convergenza non saprei...
"Jt1995":
Salve a tutti,avrei dei dubbi circa questo metodo per trovare gli zeri di una funzione.Innanzitutto,nelle ipotesi dobbiamo avere che x0 deve essere sufficientemente vicino allo zero,se così non fosse cosa accadrebbe?E inoltre,dato che l'ordine di convergenza atteso è quello di grado 2,a cosa è dovuto che a volte otteniamo un ordine di convergenza minore o inferiore a quello atteso?
Il metodo di Newton si basa sull'approssimazione della funzione attraverso il polinomio di Taylor (centrato nel punto dato). Quindi il metodo funziona se l'errore dato dall'approssimazione iniziale è sufficientemente trascurabile.
Se sei troppo lontano, ovvero se l'approssimazione con Taylor è poco precisa allora il metodo semplicemente non converge (o potrebbe anche convergere ad un'altro zero).
L'ordine di convergenza dipende dall'ordine dell'errore del polinomio di Taylor e quindi sostanzialmente dalla funzione.
"vict85":
Il metodo di Newton si basa sull'approssimazione della funzione attraverso il polinomio di Taylor (centrato nel punto dato). Quindi il metodo funziona se l'errore dato dall'approssimazione iniziale è sufficientemente trascurabile.
Se sei troppo lontano, ovvero se l'approssimazione con Taylor è poco precisa allora il metodo semplicemente non converge (o potrebbe anche convergere ad un'altro zero).
L'ordine di convergenza dipende dall'ordine dell'errore del polinomio di Taylor e quindi sostanzialmente dalla funzione.
Sapresti farmi un esempio in cui l'ordine è inferiore/superiore a 2?Un'ultima domanda,se ho le iterazioni e voglio vedere se essa converge e con quale ordine di convergenza,avendo il punto fisso,quale procedimento dovrei seguire?
Ottieni un ordine inferiore a 2 se lo zero \(x_0\) è di ordine superiore a 1, cioè se
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha} = l \ne 0
\]
per qualche \(\alpha > 1\).
Per esempio, una parabola tipo \(y=x^2\) o una funzione come \(y=x^4\).
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha} = l \ne 0
\]
per qualche \(\alpha > 1\).
Per esempio, una parabola tipo \(y=x^2\) o una funzione come \(y=x^4\).
"Jt1995":
Un'ultima domanda,se ho le iterazioni e voglio vedere se essa converge e con quale ordine di convergenza,avendo il punto fisso,quale procedimento dovrei seguire?
Non sono sicuro di aver capito la domanda, ma vuoi sapere l'ordine di convergenza di una data serie numerica \(x_n\) ad un numero \(x_0\), si fa come segue.
Se la convergenza è di ordine \(\alpha\), allora
\[
|x_{n+1} - x_0| =: e_{n+1} \approx C e_n^\alpha.
\]
Se fai il rapporto tra due errori successivi e ne prendi il logaritmo,
\[
\ln \frac{e_{n+1}}{e_n} \approx \alpha \ln \frac{e_{n}}{e_{n-1}}
\]
da cui puoi ricavare \(\alpha\).
"Raptorista":
Non sono sicuro di aver capito la domanda, ma vuoi sapere l'ordine di convergenza di una data serie numerica \(x_n\) ad un numero \(x_0\), si fa come segue.
Se la convergenza è di ordine \(\alpha\), allora
\[
|x_{n+1} - x_0| =: e_{n+1} \approx C e_n^\alpha.
\]
Se fai il rapporto tra due errori successivi e ne prendi il logaritmo,
\[
\ln \frac{e_{n+1}}{e_n} \approx \alpha \ln \frac{e_{n}}{e_{n-1}}
\]
da cui puoi ricavare \(\alpha\).
L'esercizio che mi viene assegnato è questo qui: "Per ognuna delle seguenti iterazioni, stabilire se si ha convergenza al punto fisso α indicato (per x0 sufficientemente vicino a α). Nel caso si ha convergenza, stabilire l’ordine di convergenza; se la convergenza e’ lineare, trovare la costante asintotica dell’errore."
$x^(k+1)=2/3 x(k) + 1/(x(k))^2$ con $α=3^(1/3)$
Precedentemente c'erano esercizi in cui ci veniva data la funzione e dimostrare che convergeva ad un dato ordine di convergenza.In questo tipo di esercizio con le iterazioni non capisco da dove partire
Per esempio, potresti partire dal messaggio che ho scritto...
"Raptorista":
Per esempio, potresti partire dal messaggio che ho scritto...
Ma per errore intendi quello assoluto o quello relativo?
Per errore intendo quello che ho definito nella formula.
"Raptorista":
Per errore intendo quello che ho definito nella formula.
Sostituendo troverei l'errore al passo n+1,mentre per gli altri?
Vorrei riprendere questo topic.Ho risolto,spero bene,lo stesso esercizio con questa iterata qui: $ x^(k+1)=12/(1+(x^k))$ con $a=3$ Da questa qui ho ottenuto che converge con ordine di convergenza uguale 1.Ora vorrei sapere la costante asintotica dell'errore o fattore di convergenza $c$ ma non so come ricavarla,come dovrei procedere?
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