Metodo di Jacobi

[V.C5]

Ciao a tutti. Mi dispiace confondere l'Analisi numerica con quella matematica, ma non sapevo dove altro scrivere.
Il mio problema è il metodo di Jacobi per l'approssimazione di soluzioni di sistemi lineari.
In linea teorica faccio riferimento a queste brevi dispense:
http://www1.mat.uniroma1.it/mat_cms/materiali/2013-2014/finzivita-22940-SistemiLineari.pdf

Ma praticamente non ho idea di come risolvere un sistema con Jacobi . Ho letto in giro che affinché un sistema sia risolvibile con jacobi, la matrice di iterazione associata al sistema deve avere raggio spettrale minore di 1, ma nelle mie dispense non è scritto niente del genere, quindi eviterei questo approccio al problema. Piuttosto, da quel che ho capito, affinché si possa risolvere il sistema con jacobi bisogna che la matrice associata sia diagonale dominante, è corretto?

Vi chiedo come favore di risolvere questo esercizio.

Se per esempio ho la seguente matrice A 3x3

3 1 1
2 4 1
3 0 5

e il seguente vettore b
1
2
2

Come posso risolvere il sistema con Jacobi?
Come stimo a priori l'errore?
Ho letto alcuni esercizi in cui viene chiesto di dire quante iterazioni sono necessarie per avere un risultato con 3 cifre decimali corrette: come si fa?
Grazie in anticipo

[V.C5]

Bene. In poche righe mi sono dimostrata l'emblema del nuovo utente antipatico e poco attento.
Ti ringrazio per la gentilezza.
Il punto è che non ho nessun esempio che mi possa essere da guida per apprendere meglio la risoluzione di tali problemi. Probabilmente un matematico migliore di me non ne avrebbe bisogno, ma bisogna pure accettare i propri limiti.

Nonostante mi sia resa conto di non aver rispettato il vostro regolamento, non posso che dirmi piacevolmente grata della tua disponibilità: attendo la tua delucidazione!

[V.C5]

Sì, grazie infinite per la spiegazione, ho capito: se la matrice A associata al sistema non è diagonale dominante allora non è garantita la convergenza delle soluzioni. Bisogna quindi controllare che il raggio spettrale sia minore di 1, dove il raggio spettrale è la massimo in modulo degli autovalori della matrice di Jacobi B, dove B è è data da D^(-1) (E+F), e dove D,E,F sono tali che A=D-E-F, con D matrice diagonale, e quindi invertibile.
Se r(B)<1 allora è garantita la convergenza della soluzione con il metodo di Jacobi, che poi mi è chiaro.
Avrei ancora un dubbio su come stimare l'errore a priori. Per poterlo fare devo innanzi tutto conoscere la soluzione esatta del sistema? Come potrei dire dopo quante iterazioni l'errore raggiunge un certo ordine di grandezza che so, 10^(-2)?