Metodo di Eulero all'indietro (implicito)
Ho capito piuttosto bene il metodo di Eulero in avanti (esplicito), che non richiede particolari stranezze, mentre non riesco a capire il metodo di Eulero all'indietro: cioè io so di avere una data funzione $y'= -x^2 y = f(Xn, Yn)$, e conosco anche la soluzione di Cauchy $y(0)=1$, quello che mi sfugge è come riesco a trovare le approssimazioni della "funzione soluzione" con un h dato, tramite la $Yn+1= Yn+h*f(Xn+1, Yn+1)$ ??? cioè se io devo trovare Yn+1, come faccio a metterlo all'interno della funzione f?
Pensandoci potrebbe essere che devo partire con $Xn+1=0$ e con $ Yn+1=1$ e poi trovare Yn, però non ne sono particolarmente sicuro.
Pensandoci potrebbe essere che devo partire con $Xn+1=0$ e con $ Yn+1=1$ e poi trovare Yn, però non ne sono particolarmente sicuro.
Risposte
Ok ho risolto da solo, utilizzando un metodo di punto fisso per trovare la soluzione Yn+1.
No, devi risolvere un'equazione non lineare!
Questo metodo si chiama "implicito" proprio perché ad ogni timestep tu hai quella relazione tra \(Y_n\) e \(Y_{n+1}\) ma non la puoi valutare direttamente [i..e esplicitamente], bensì devi risolvere l'equazione non lineare da essa definita.
Questo metodo si chiama "implicito" proprio perché ad ogni timestep tu hai quella relazione tra \(Y_n\) e \(Y_{n+1}\) ma non la puoi valutare direttamente [i..e esplicitamente], bensì devi risolvere l'equazione non lineare da essa definita.
Scusate ma non ho capito bene come si risolve la cosa!...supponendo h=1 io farei così:
$x_0=0; y_0=1$
$x_1=1; y_1=y_0+hf'(x_1,y_1)$
----
$y_1=y_0+h(-x_1^2y_1)$
$y_1=y_0-hx_1^2y_1$
$y_1+hx_1^2y_1=y_0$
$y_1(1+hx_1^2)=y_0$
$y_1=y_0/(1+hx_1^2)$
---
$x_1=1; y_1=y_0/(1+hx_1^2)$
$x_2=2; y_2=y_1/(1+hx_2^2)$
$x_3=3; y_3=y_2/(1+hx_3^2)$
E così via...è corretto?
$x_0=0; y_0=1$
$x_1=1; y_1=y_0+hf'(x_1,y_1)$
----
$y_1=y_0+h(-x_1^2y_1)$
$y_1=y_0-hx_1^2y_1$
$y_1+hx_1^2y_1=y_0$
$y_1(1+hx_1^2)=y_0$
$y_1=y_0/(1+hx_1^2)$
---
$x_1=1; y_1=y_0/(1+hx_1^2)$
$x_2=2; y_2=y_1/(1+hx_2^2)$
$x_3=3; y_3=y_2/(1+hx_3^2)$
E così via...è corretto?
Il metodo può anche essere corretto in questo caso particolare [i conti sembrano corretti a prima vista] ma in generale non sono fattibili a mano.
In generale uno scrive la relazione
\[
y^{k+1} = y^k + h f'(x^{k+1},y^{k+1})
\]
e questa è un'equazione nonlineare in \(y^{k+1}\).
Questa relazione "definisce" il valore \(y^{k+1}\). Punto.
Il come si trovi il valore che soddisfa quella relazione è un problema diverso che non ha, in sé, a che fare con la risoluzione dell'ODE ma è un problema aggiuntivo che si presenta avendo scelto un metodo implicito, e va risolto a parte con metodi slegati da Eulero all'indietro.
In generale uno scrive la relazione
\[
y^{k+1} = y^k + h f'(x^{k+1},y^{k+1})
\]
e questa è un'equazione nonlineare in \(y^{k+1}\).
Questa relazione "definisce" il valore \(y^{k+1}\). Punto.
Il come si trovi il valore che soddisfa quella relazione è un problema diverso che non ha, in sé, a che fare con la risoluzione dell'ODE ma è un problema aggiuntivo che si presenta avendo scelto un metodo implicito, e va risolto a parte con metodi slegati da Eulero all'indietro.
Ciao grazie per la risposta. Capisco che tutti questi metodi alla fine vengono risolti dal calcolatore con programmi specifici e quindi potrei tralasciare benissimo il come si risolve...però gli esercizi che dovrò fare all'esame saranno a mano e quindi vorrei sapere se il metodo che ho usato (considerando solo ODE di ordine 1) è valido oppure no. Ti ringrazio
Mi sembra di aver già scritto che in questo caso i conti sembrano giusti 
Ti ringrazio!
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