Metodo di Cholesky
Ciao a tutti,
Ho un problema con l'applicazione del metodo di Cholesky.
In un sistema lineare Ax=b, con A matrice 3x3 (1°riga: 1 1 1, 2° riga:1 2 3; 3°riga:1 3 6) e b 1x3 (16 29 47) devo ricavare la soluzione con questo metodo.
Qualcuno sa applicarlo?
Purtroppo ho una professoressa universitaria a cui piace molto fare teoria senza pratica (o con esempi velocissimi), salvo poi far applicare questi metodi durante l'esame scritto!
Grazie in ogni caso
Ho un problema con l'applicazione del metodo di Cholesky.
In un sistema lineare Ax=b, con A matrice 3x3 (1°riga: 1 1 1, 2° riga:1 2 3; 3°riga:1 3 6) e b 1x3 (16 29 47) devo ricavare la soluzione con questo metodo.
Qualcuno sa applicarlo?
Purtroppo ho una professoressa universitaria a cui piace molto fare teoria senza pratica (o con esempi velocissimi), salvo poi far applicare questi metodi durante l'esame scritto!
Grazie in ogni caso
Risposte
L'algoritmo di Cholesky consente di decomporre una matrice $A$ simmetrica e definita positiva nel prodotto $LL^T$, con $L$ matrice triangolare inferiore. Qual è il vantaggio di tale decomposizione?
Supponiamo che devi risolvere il sistema lineare $Ax=b$; bene, sostituiamo ad $A$ la sua decomposizione e otteniamo
\[
LL^Tx=b
\]
Ora denotiamo con $y=L^Tx$. Otteniamo due sistemi:
\[
Ly=b \\
L^Tx=y
\].
Il primo ha come termine noto $b$, incognita $y$ e matrice dei coefficienti $L$; risolvendo questo sistema trovi $y$ che sarà il termine noto del secondo sistema, da cui poi ricavi $x$ che coincide con la soluzione del tuo sistema originale. Il vantaggio sta nel fatto che questi due sistemi si risolvono molto rapidamente con gli algoritmi di sostituzione in avanti o indietro dato che le matrici sono triangolare.
La matrice $L$ si costruisce procedendo per righe con le formule:
\[
L_{j,j} = \sqrt{A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1}{L_{j,k}^2}} \\
L_{i,j} = \frac{1}{L_{j,j}}(A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1}{L_{i,k}L_{j,k}})
\]
Nel tuo esempio, applicando le formule che ti ho scritto dovresti ottenere che
$
L = (( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) )
$
Da qui poi risolvi i sistemi come prima ti ho detto.
Supponiamo che devi risolvere il sistema lineare $Ax=b$; bene, sostituiamo ad $A$ la sua decomposizione e otteniamo
\[
LL^Tx=b
\]
Ora denotiamo con $y=L^Tx$. Otteniamo due sistemi:
\[
Ly=b \\
L^Tx=y
\].
Il primo ha come termine noto $b$, incognita $y$ e matrice dei coefficienti $L$; risolvendo questo sistema trovi $y$ che sarà il termine noto del secondo sistema, da cui poi ricavi $x$ che coincide con la soluzione del tuo sistema originale. Il vantaggio sta nel fatto che questi due sistemi si risolvono molto rapidamente con gli algoritmi di sostituzione in avanti o indietro dato che le matrici sono triangolare.
La matrice $L$ si costruisce procedendo per righe con le formule:
\[
L_{j,j} = \sqrt{A_{j,j} - \sum_{k=1}^{j-1}{L_{j,k}^2}} \\
L_{i,j} = \frac{1}{L_{j,j}}(A_{i,j} - \sum_{k=1}^{j-1}{L_{i,k}L_{j,k}})
\]
Nel tuo esempio, applicando le formule che ti ho scritto dovresti ottenere che
$
L = (( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 ) )
$
Da qui poi risolvi i sistemi come prima ti ho detto.
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