Metodo dei trapezi composti
a=[ 7, 2, -1
1, 3, 1
2, 1, -4]
verificare la condizione di convergenza.
A = M-N dove M=matrice identità, n coincide con Bj
Bj = M^-1*N
Bj= -6, -2, 1
-1, -2, -1
-2, -1, 5
trovare il max degli atuovalori come gli zeri del polinomio caratteristico
det(Bj-xI) = -x^3 -3x^2 +28x -5 = 0 è giusto cosi?
1, 3, 1
2, 1, -4]
verificare la condizione di convergenza.
A = M-N dove M=matrice identità, n coincide con Bj
Bj = M^-1*N
Bj= -6, -2, 1
-1, -2, -1
-2, -1, 5
trovare il max degli atuovalori come gli zeri del polinomio caratteristico
det(Bj-xI) = -x^3 -3x^2 +28x -5 = 0 è giusto cosi?
Risposte
Ti invito a leggere qui per l'inserimento delle formule, così da rendere più chiaro a tutti cosa chiedi, e quindi permette agli altri di aiutarti con più efficacia 
.
Detto questo cerco di riscrivere il problema.
Data la matrice $A\in RR^{3x3}, A= ((7,2, -1),(1,3, 1), (2,1,-4))$, verificare la condizione di convergenza. $A= M-N$ dove M è la matrice identità, n (ma credo sia N) coincide con $B_j$. $B_j= M^-1*N$. Se non ho fraintenso, $B_j$ dovrebbe essere la matrice di iterazione del metodo, ma non mi torna il modo con cui l'hai calcolata.
Il metodo infatti pretende che la matrice A venga scritta come differenza di due matrici $A= M-N$, dove $M$ è la matrice diagonale che ha per elementi, gli elementi che giacciono sulla diagonale principale di A. Matematicamente hai che:
$M= (a_{i,j} * \delta_{i,j})_{ i,j=1,...,n}$ dove $\delta_{i,j}= \{(1 " se " i=j),(0 " se "i!=j):} $
Dunque in questo caso $M$ non è la matrice identità, ma
$M= ((7,0, 0),(0,3, 0), (0,0,-4))$, di conseguenza la matrice N è:
$N=((0,-2, 1),(-1,0, -1), (-2,-1,0))$ e quindi $B_j$ è ben diversa da quella scritta, sbaglio io?
[size=75]Edit:modificato un indice[/size]
.Detto questo cerco di riscrivere il problema.
Data la matrice $A\in RR^{3x3}, A= ((7,2, -1),(1,3, 1), (2,1,-4))$, verificare la condizione di convergenza. $A= M-N$ dove M è la matrice identità, n (ma credo sia N) coincide con $B_j$. $B_j= M^-1*N$. Se non ho fraintenso, $B_j$ dovrebbe essere la matrice di iterazione del metodo, ma non mi torna il modo con cui l'hai calcolata.
Il metodo infatti pretende che la matrice A venga scritta come differenza di due matrici $A= M-N$, dove $M$ è la matrice diagonale che ha per elementi, gli elementi che giacciono sulla diagonale principale di A. Matematicamente hai che:
$M= (a_{i,j} * \delta_{i,j})_{ i,j=1,...,n}$ dove $\delta_{i,j}= \{(1 " se " i=j),(0 " se "i!=j):} $
Dunque in questo caso $M$ non è la matrice identità, ma
$M= ((7,0, 0),(0,3, 0), (0,0,-4))$, di conseguenza la matrice N è:
$N=((0,-2, 1),(-1,0, -1), (-2,-1,0))$ e quindi $B_j$ è ben diversa da quella scritta, sbaglio io?
[size=75]Edit:modificato un indice[/size]
ahhhhh, grazie mille!
Sto studiando formazione numerica per sostenere l'esame a settembre, non ho mai seguito lezioni e mi sto preparando con l'ausilio delle slide della prof.
Le slide sono scritte in modo da incoraggiare gli studenti a seguire le lezioni perché non si capisce un tubo!
Cmq non avevo capito che M = matrice diagonale di A
quindi per verificare la convergenza devo trovare gli autovalori in questo modo:
$B_j = M^-1*N = ((1/7, 0, 0), (0, 1/3, 0), (0, 0, -1/4)) * ((0, -2, 1), (-1,0,-1), (-2,-1,0)) = ((0,-2/7,1/7),(-1/3,0,-1/3),(1/2,1/4,0))$
$det(B_j - lambdaI) rArr$
$|(-lambda,-2/7,1/7),(-1/3,-lambda,-1/3),(1/2,1/4,-lambda)|=-lambda^3+2/21-1/84+lambda/14-lambda/12+2lambda/21 = (-84lambda^3+8-1+6lambda-7lambda+8lambda)/84 =(-84lambda^3+7lambda+7)/84=0$
come si trovano le radici?
Sto studiando formazione numerica per sostenere l'esame a settembre, non ho mai seguito lezioni e mi sto preparando con l'ausilio delle slide della prof.
Le slide sono scritte in modo da incoraggiare gli studenti a seguire le lezioni perché non si capisce un tubo!
Cmq non avevo capito che M = matrice diagonale di A
quindi per verificare la convergenza devo trovare gli autovalori in questo modo:
$B_j = M^-1*N = ((1/7, 0, 0), (0, 1/3, 0), (0, 0, -1/4)) * ((0, -2, 1), (-1,0,-1), (-2,-1,0)) = ((0,-2/7,1/7),(-1/3,0,-1/3),(1/2,1/4,0))$
$det(B_j - lambdaI) rArr$
$|(-lambda,-2/7,1/7),(-1/3,-lambda,-1/3),(1/2,1/4,-lambda)|=-lambda^3+2/21-1/84+lambda/14-lambda/12+2lambda/21 = (-84lambda^3+8-1+6lambda-7lambda+8lambda)/84 =(-84lambda^3+7lambda+7)/84=0$
come si trovano le radici?
O utilizzi le formule di Cardano per la risoluzione delle equazioni di grado 3 (fortemente sconsigliato) oppure puoi ricondurti a un teorema di analisi computazionale, credo tu lo abbia fatto.
Condizione sufficiente per la convergenza del metodo di Jacobi è che:
$\max_{i=1,...,n} (1/(|a_{i,i}|) \sum_{j=1, j!=i}^n |a_{i,j}|)<1$
Con questo teorema eviti il calcolo del raggio spettrale che in alcuni casi (come questo) è difficile da trovare analiticamente. Inoltre lavori esclusivamente con i coefficienti della matrice $A$. Fammi sapere se è chiaro
Condizione sufficiente per la convergenza del metodo di Jacobi è che:
$\max_{i=1,...,n} (1/(|a_{i,i}|) \sum_{j=1, j!=i}^n |a_{i,j}|)<1$
Con questo teorema eviti il calcolo del raggio spettrale che in alcuni casi (come questo) è difficile da trovare analiticamente. Inoltre lavori esclusivamente con i coefficienti della matrice $A$. Fammi sapere se è chiaro
mmm, è la formula per vedere se una matrice è diagonalmente dominate.
Quindi: condizione sufficente per la convergenze è che A sia diagonalmente dominate.
Non so come ti chiami ma so che mi sei stato di aiuto, grazie!
Quindi: condizione sufficente per la convergenze è che A sia diagonalmente dominate.
Non so come ti chiami ma so che mi sei stato di aiuto, grazie!
Determinare il numerro di nodi neccessari per ottenerre un errore minore $10^-3$ applicando il metodo dei trapezi composti per approssimare
$int_{-pi/2}^{pi/2}sen(x) dx$
ho trovato che l'errore è uguale a
$-1/12*(b-a)*h^2*F^2(eta)$ dove $F^2(eta)$ = massimo della derivata seconda nell'intervallo $[-pi/2, pi/2]$
quindi
$D^2(senx)=-senx$
$-1/12*(pi/2+pi/2)*((pi/2+pi/2)/n)^2*max_[-pi/2,pi/2](-senx)<10^-3 rArr -pi^3/(12*n^2)*1<10^-3 rArr n>sqrt((10^3*(-pi^3))/12)$
risulta $n>8,9 rArr n>9$
se il procedimento è giusto non capisco perché ho bisogno di 9 nodi quando con due ottengo il risultato esatto, mi spiego:
$int_{-pi/2}^{pi/2}sen(x) dx = [-cosx]^(pi/2)_(-pi/2)= 0$ scegliendo solo due nodi $a=-pi/2, b=pi/2$ e usando la formula del trapezio
$ (b-a)*(f(a)+f(b))/2=0$
a quanto sembra la radice non si po' fa! cmq lascio tutto cosi perché continuo a non capire
Penso di sbaglare a interpretare $F^2(eta)$
$int_{-pi/2}^{pi/2}sen(x) dx$
ho trovato che l'errore è uguale a
$-1/12*(b-a)*h^2*F^2(eta)$ dove $F^2(eta)$ = massimo della derivata seconda nell'intervallo $[-pi/2, pi/2]$
quindi
$D^2(senx)=-senx$
$-1/12*(pi/2+pi/2)*((pi/2+pi/2)/n)^2*max_[-pi/2,pi/2](-senx)<10^-3 rArr -pi^3/(12*n^2)*1<10^-3 rArr n>sqrt((10^3*(-pi^3))/12)$
risulta $n>8,9 rArr n>9$
se il procedimento è giusto non capisco perché ho bisogno di 9 nodi quando con due ottengo il risultato esatto, mi spiego:
$int_{-pi/2}^{pi/2}sen(x) dx = [-cosx]^(pi/2)_(-pi/2)= 0$ scegliendo solo due nodi $a=-pi/2, b=pi/2$ e usando la formula del trapezio
$ (b-a)*(f(a)+f(b))/2=0$
a quanto sembra la radice non si po' fa! cmq lascio tutto cosi perché continuo a non capire
Penso di sbaglare a interpretare $F^2(eta)$
A quanto ho capito, hai problemi con l'errore assoluto. Il valore esatto dell'integrale meno il valore approssimato (che indico con $T(f)$) lo prendi in modulo così non avrai problemi con i numeri negativi:
$|\int_{-\pi/2}^{\pi/2} sin(x) dx - T(f)| <= 1/12 (\pi/2 +\pi/2) max_{-\pi/2<=x<= \pi/2} |-sin(x)| h^2$ da cui:
$ 1/12 (\pi/2 +\pi/2) max_{-\pi/2<=x<= \pi/2} |-sin(x)| h^2 = \pi/12 h^2 $
Vedi se torna
Inoltre per quanto riguarda questo caso, hai una funzione integranda dispari, e l'intervallo di integrazione è simmetrico, dunque l'integrale risulta essere nullo. Supponendo ora di prendere il passo $h= (\pi/2)$, avendo quindi come punti nodali $A=(-\pi/2, -1),B=(0,0),C=(\pi/2,1)$:
[asvg]xmin = -Math.PI/2; xmax = Math.PI/2; ymin = -1; ymax = 1; axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("sin(x)"); // disegna la funzione seno
stroke="blue";
line([-1.57,-1], [-1.57, 0]);
line([-1.57,-1], [-1.57, 0]);
line([-1.57, -1], [0,0]);
line([-1.57, 0],[0,0]);
line([1.57,1], [1.57, 0]);
line([1.57,1], [1.57, 0]);
line([1.57, 1], [0,0]);
line([1.57, 0],[0,0]);[/asvg]
Come puoi vedere, il contributo dato dalle "aree" dei triangoli è nullo. (Nota che ho dei triangoli a causa del passo scelto, se aumentassi il numero di nodi, allora troveresti dei trapezi ma la storia non cambia)
[size=75]Edit: Un piccolo appunto: sei pregato di aprire un altro topic, al fine di evitare confusione e rendere più accessibile l'argomento da parte degli altri utenti, grazie per la comprensione[/size]
$|\int_{-\pi/2}^{\pi/2} sin(x) dx - T(f)| <= 1/12 (\pi/2 +\pi/2) max_{-\pi/2<=x<= \pi/2} |-sin(x)| h^2$ da cui:
$ 1/12 (\pi/2 +\pi/2) max_{-\pi/2<=x<= \pi/2} |-sin(x)| h^2 = \pi/12 h^2 $
Vedi se torna
Inoltre per quanto riguarda questo caso, hai una funzione integranda dispari, e l'intervallo di integrazione è simmetrico, dunque l'integrale risulta essere nullo. Supponendo ora di prendere il passo $h= (\pi/2)$, avendo quindi come punti nodali $A=(-\pi/2, -1),B=(0,0),C=(\pi/2,1)$:
[asvg]xmin = -Math.PI/2; xmax = Math.PI/2; ymin = -1; ymax = 1; axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("sin(x)"); // disegna la funzione seno
stroke="blue";
line([-1.57,-1], [-1.57, 0]);
line([-1.57,-1], [-1.57, 0]);
line([-1.57, -1], [0,0]);
line([-1.57, 0],[0,0]);
line([1.57,1], [1.57, 0]);
line([1.57,1], [1.57, 0]);
line([1.57, 1], [0,0]);
line([1.57, 0],[0,0]);[/asvg]
Come puoi vedere, il contributo dato dalle "aree" dei triangoli è nullo. (Nota che ho dei triangoli a causa del passo scelto, se aumentassi il numero di nodi, allora troveresti dei trapezi ma la storia non cambia)
[size=75]Edit: Un piccolo appunto: sei pregato di aprire un altro topic, al fine di evitare confusione e rendere più accessibile l'argomento da parte degli altri utenti, grazie per la comprensione[/size]
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