Metodi iterativi : calcolo dell'ordine di convergenza

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Sto studiando la materia Laboratorio di analisi numerica, e ho dei dubbi sui metodi iterativi.
Sto esaminando il caso in cui una funzione f(x) di classe Cm abbia uno zero z di molteplicità m , ovvero risulta

$ 0 = f(z) = f '(z) = f'' (z) = ....... f^(m-1)(z)!= f^(m)(z) $

Vi riporto i passaggi del libro.
Viene applicata la formula di Taylor col resto di lagrange scrivendo

$ f(x) = (x-z)^m*1/(m!) * (partial^m f)/(partial x^m) (xi x) $ ove x è un pedice

Quindi si applica la funzione di iterazione del metodo di newton

$ phi (x) = x -f(x)/((partial f)/(partial x)(x)) $

Dopo tutti i calcoli , per indagare sull'ordine di convergenza viene valutata la derivata prima della funzione
$ phi $ nel punto z che risulta essere

$ (partial phi)/(partial x)(z)=1-(1/m) $

Ora c'è scritto che

M= 1 -----> la derivata è zero ------> ordine di convergenza = 2

M $ != $ 1 ----> Il metodo non è più del secondo ordine. L'ordine è 1 (perchè la derivata prima
è DIVERSA da zero? ), anzi al crescere di M la convergenza risulta essere sempre più lenta.

Ora volevo sapere? come faccio a capire quale è l'ordine di convergenza? E' la prima derivata che trovo DIVERSA
da zero?
Inoltre un metodo che ha ordine di convergenza 2 è più veloce di uno il cui ordine è 1 ?
Grazie.

[malva1]

esatto,è la prima derivata diversa da zero!