Maatrici diagonali dominanti e definite positive
Ho i brividi, ma stranamente non per il freddo...
Stamattina mi metto a fare il seguente esercizio:
Data la matrice A:
$A=((-1,-1/2,0,0),(-1/2,1,-1/4,0),(0,-1/4,-1,-1/6),(0,0,-1/6,1))$
Dire quanti autovalori positivi e quanti negativi possiede.
La guardo e vedo che è DIAGONALE DOMINANTE IN SENSO STRETTO, DICO BE' allora è A è diagonale dominante in senso stretto è definita positiva, segue ha tutti e quattro gli autovalori positivi, poi però uso Gashgorin e cado in contraddizione dato che ho due autovalori positivi e due negativi. Allora è sbagliato il teorema sulle matrici diagonali dominanti in senso stretto, o semplicemente tra le ipotesi (che a questo punto credo di aver dimenticato) serviva anche con elementi diagonali positivi?
Grazie.
Stamattina mi metto a fare il seguente esercizio:
Data la matrice A:
$A=((-1,-1/2,0,0),(-1/2,1,-1/4,0),(0,-1/4,-1,-1/6),(0,0,-1/6,1))$
Dire quanti autovalori positivi e quanti negativi possiede.
La guardo e vedo che è DIAGONALE DOMINANTE IN SENSO STRETTO, DICO BE' allora è A è diagonale dominante in senso stretto è definita positiva, segue ha tutti e quattro gli autovalori positivi, poi però uso Gashgorin e cado in contraddizione dato che ho due autovalori positivi e due negativi. Allora è sbagliato il teorema sulle matrici diagonali dominanti in senso stretto, o semplicemente tra le ipotesi (che a questo punto credo di aver dimenticato) serviva anche con elementi diagonali positivi?
Grazie.
Risposte
No, non è definita positiva. Chiama $e_1=[[1], [0], [0], [0]]$. Allora $e_1^TAe_1=-1$.
il teorema ha l'aggiunta di quell'ipotesi? elementi sulla diagonale positivi?
Mannaggia, e chi si ricorda più... Mi stai facendo fare un ripasso accelerato di calcolo numerico! 
[qualche minuto dopo] Allora: non è detto che una matrice a stretta predominanza diagonale sia definita positiva e la nostra $A$ ne è un esempio. Questo succede però se $A$ è Hermitiana e ha tutti gli elementi sulla diagonale principale strettamente positivi. Questo perché gli autovalori di una matrice Hermitiana sono sicuramente reali: applicando il teorema di Gerschgorin trovi che essi sono necessariamente tutti strettamente positivi.
Comunque, non mi sembra opportuno di ricordarsi tutta questa casistica. La cosa veramente importante è una sola: il teorema di Gerschgorin.
[qualche minuto dopo] Allora: non è detto che una matrice a stretta predominanza diagonale sia definita positiva e la nostra $A$ ne è un esempio. Questo succede però se $A$ è Hermitiana e ha tutti gli elementi sulla diagonale principale strettamente positivi. Questo perché gli autovalori di una matrice Hermitiana sono sicuramente reali: applicando il teorema di Gerschgorin trovi che essi sono necessariamente tutti strettamente positivi.
Comunque, non mi sembra opportuno di ricordarsi tutta questa casistica. La cosa veramente importante è una sola: il teorema di Gerschgorin.
Ok grazie mille 
Un bacio Mari
P.s
Hai ragione anche tu sul fatto della casistica ma di fronte all'orologio che non si ferma e al compito sempre più lungo della proff l'unica soluzione e cercare di estrapolare delle cose al volo.
P.s.s
Prego (Per il tuo grazie dato che ti sto facendo ripassare)
Un bacio Mari
P.s
Hai ragione anche tu sul fatto della casistica ma di fronte all'orologio che non si ferma e al compito sempre più lungo della proff l'unica soluzione e cercare di estrapolare delle cose al volo.
P.s.s
Prego (Per il tuo grazie dato che ti sto facendo ripassare
)
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