Logaritmi
Salve a tutti,
vorrei sapere come posso procedere per approssimare un logaritmo senza l'uso di calcolatori.
es. calcolare log 7 con un errore inferiore a 2 centesimi.
vorrei sapere come posso procedere per approssimare un logaritmo senza l'uso di calcolatori.
es. calcolare log 7 con un errore inferiore a 2 centesimi.
Risposte
Una volta esistevano le tavole logaritmiche (non le tavole numeriche di oggi!). Ora c'è la calcolatrice e quasi più nessuno insegna a trovare i logaritmi a mano (e si capisce perchè!).
Qualche anno fa, mi era saltato fuori questo "pallino" e avevo imparato da autodidatta a trovarmi i logaritmi con le tavole; era una bella procedura di cui però ricordo ben poco. In sostanza, la ricerca si divideva in due tempi: occorreva prima cercare la parte intera del logaritmo (che per numeri abbastanza bassi e base decimale è relativamente semplice). Poi occorreva cercare la "mantissa", cioè la parte decimale e qui usavi le tavole. Poi potevi anche interpolare per trovare logaritmi di numeri con la virgola. Oltre a questo però non ricordo più nulla.
Con le tavole, poi si poteva risolvere in maniera approssimata e abbastanza rapida anche il problema inverso (dato un numero, si determini il numero $x$ il cui logaritmo in base dieci è il numero dato).
Ti lascio i dati delle mie tavole, se per caso tu riuscissi a trovarle ancora in commercio (io ho faticato non poco un paio di anni fa.. sono introvabili):
L. Brasca - E. Levi, "Logaritmi e altre tavole matematiche fondamentali", 26° edizione, Ghisetti e Corvi.
In appendice al volume c'è un'ottima e approfondita guida che ti spiega come fare tutto.
Qualche anno fa, mi era saltato fuori questo "pallino" e avevo imparato da autodidatta a trovarmi i logaritmi con le tavole; era una bella procedura di cui però ricordo ben poco. In sostanza, la ricerca si divideva in due tempi: occorreva prima cercare la parte intera del logaritmo (che per numeri abbastanza bassi e base decimale è relativamente semplice). Poi occorreva cercare la "mantissa", cioè la parte decimale e qui usavi le tavole. Poi potevi anche interpolare per trovare logaritmi di numeri con la virgola. Oltre a questo però non ricordo più nulla.
Con le tavole, poi si poteva risolvere in maniera approssimata e abbastanza rapida anche il problema inverso (dato un numero, si determini il numero $x$ il cui logaritmo in base dieci è il numero dato).
Ti lascio i dati delle mie tavole, se per caso tu riuscissi a trovarle ancora in commercio (io ho faticato non poco un paio di anni fa.. sono introvabili):
L. Brasca - E. Levi, "Logaritmi e altre tavole matematiche fondamentali", 26° edizione, Ghisetti e Corvi.
In appendice al volume c'è un'ottima e approfondita guida che ti spiega come fare tutto.
Capito, il problema è che devo affrontare un test, e non posso usare tavole.
Avevo pensato di applicare il polinomio di tayor ma ho avuto alcune difficoltà.
Avevo pensato di applicare il polinomio di tayor ma ho avuto alcune difficoltà.
Effettivamente il calcolo mediante Taylor deve avere alcuni accorgimenti in fase di calcolo se vuoi che la serie converga.
Il fatto è che usualmente lo sviluppo viene fatto attorno a 1, analogamente dovresti ridurti ad un intorno di 1 con il valore che cerchi. Fai qualche tentativo
Il fatto è che usualmente lo sviluppo viene fatto attorno a 1, analogamente dovresti ridurti ad un intorno di 1 con il valore che cerchi. Fai qualche tentativo
[mod="Martino"]Cortesemente mi dici perche' posti questo intervento in algebra?
Sposto in analisi numerica.[/mod]
Sposto in analisi numerica.[/mod]
Suppongo che si tratti di logaritmi in base 10.
Prendo la decade da 1 a 10. Per altre dacadi basta aggiungere o togliere 1 quante sono le decadi in più o in meno.
0 è il logaritmo di 1 e 1 quello di 10.
0,5 è il logaritmo di di 3,16 (radice quadrata di 10; facile da ricordare, dato che 3,20 è la radice quadrata di 10,24; se togliamo il 2,4% dal quadrato, dobbiamo togliere solo 1,2% dalla radice e 3,20 -1,2% fornisce proprio 3,16)
0,7 è il logaritmo di 5 (questo è bene saperlo a memoria), da cui si deduce subito che
0,3 è il logaritmo di 2 (in quanto 0,7 + 0,3 = 1 e 2*5=10)
0,4 è il logaritmo di 2,5 (in quanto 0,4 + 0,3=0,7 e 2*2,5=5)
0,6 è il logaritmo di 4 (in quanto 0,3+0,3=0,6 e 2*2=4)
0,9 è il logaritmo di 8 (in quanto 0,3+0,6=0,9 e 2*4=8)
.....
Quando si raddoppia/dimezza la cifra, il suo logaritmo cresce/cala di 0,3
Quando si moltiplica/divide per 1,26 la cifra , il suo logaritmo cresce /cala di 0,1
...
Per far crescere/calare il logaritmo di 0,01 la cifra deve variare del 2,3%.
Esercizio: trovare il logaritmo di 7
0,8 (doppio di 0,4) è il logaritmo di 6,25 (quadrato di 2,5)
7 è circa media geometrica di 6,25 e 8 ed il suo logaritmoè media aritmetica di 0,9 e 0,8, ossia 0,85.
In effetti è 0,845
macchinoso, ma non difficile...
Prendo la decade da 1 a 10. Per altre dacadi basta aggiungere o togliere 1 quante sono le decadi in più o in meno.
0 è il logaritmo di 1 e 1 quello di 10.
0,5 è il logaritmo di di 3,16 (radice quadrata di 10; facile da ricordare, dato che 3,20 è la radice quadrata di 10,24; se togliamo il 2,4% dal quadrato, dobbiamo togliere solo 1,2% dalla radice e 3,20 -1,2% fornisce proprio 3,16)
0,7 è il logaritmo di 5 (questo è bene saperlo a memoria), da cui si deduce subito che
0,3 è il logaritmo di 2 (in quanto 0,7 + 0,3 = 1 e 2*5=10)
0,4 è il logaritmo di 2,5 (in quanto 0,4 + 0,3=0,7 e 2*2,5=5)
0,6 è il logaritmo di 4 (in quanto 0,3+0,3=0,6 e 2*2=4)
0,9 è il logaritmo di 8 (in quanto 0,3+0,6=0,9 e 2*4=8)
.....
Quando si raddoppia/dimezza la cifra, il suo logaritmo cresce/cala di 0,3
Quando si moltiplica/divide per 1,26 la cifra , il suo logaritmo cresce /cala di 0,1
...
Per far crescere/calare il logaritmo di 0,01 la cifra deve variare del 2,3%.
Esercizio: trovare il logaritmo di 7
0,8 (doppio di 0,4) è il logaritmo di 6,25 (quadrato di 2,5)
7 è circa media geometrica di 6,25 e 8 ed il suo logaritmoè media aritmetica di 0,9 e 0,8, ossia 0,85.
In effetti è 0,845
macchinoso, ma non difficile...
ciao a tutti!
avrei bisogno di una mano in merito alla definizione di logaritmo!
se il log in base a di b = a elevato a x =b
voglio sapere
log in base 4 di 64 =x
4 elevato a x = 64!
ok! è ovvio che facendo due prove con la calcolatrice risulti che 4 elevato a 3 = 64
ma nel caso in cui nn l'avessi? come trovo la x? cioè l'esponente sapendo che 4 elevato a x = 64??
GRAZIE!
in poche parole:
$4^x=64$
devi cercare di mettere il $64$ come $4$ elevato a qualcosa
$4^x=4^3$
adesso che hai le basi uguali puoi uguagliare gli esponenti
$x=3$
...ma non è un quesito di analisi numerica
$4^x=64$
devi cercare di mettere il $64$ come $4$ elevato a qualcosa
$4^x=4^3$
adesso che hai le basi uguali puoi uguagliare gli esponenti
$x=3$
...ma non è un quesito di analisi numerica
si questo l'avevo capito!
infatti cervellandomi ho trovato la soluzione!
cioè
64/4=16
16/4=4
4/4=1
soluzione 4^3
ma con questo?
log1/3 di (radiceq 3)/9 ???
infatti cervellandomi ho trovato la soluzione!
cioè
64/4=16
16/4=4
4/4=1
soluzione 4^3
ma con questo?
log1/3 di (radiceq 3)/9 ???
[mod="dissonance"]@vitov: Ciao! Clicca su formule per imparare a scriverle correttamente. Grazie.[/mod]
non c'è il logaritmo
\log$1/3$ $sqrt(3)/9$
$\log_$$1/3$ $sqrt(3)/9$
$1/3$ sarebbe la base del logaritmo!
come si risolve questa? vorrei il procedimento passo passo!
$1/3$ sarebbe la base del logaritmo!
come si risolve questa? vorrei il procedimento passo passo!
Quel $9$ a denominatore vedilo come $sqrt(81)$.
Abbiamo dunque $log_(1/3) sqrt(3)/sqrt(81) =log_(1/3) sqrt(3/81)$
Sai andare avanti?
Abbiamo dunque $log_(1/3) sqrt(3)/sqrt(81) =log_(1/3) sqrt(3/81)$
Sai andare avanti?
senti scusami, ma non mi ci trovo proprio qui con la scrittura!
cmq non la so continuare!
mi diresti xkè dovrei vederlo come radice di 81????
cmq non la so continuare!
mi diresti xkè dovrei vederlo come radice di 81????
leggendo questo inutile libro mi viene da pensare che và risolta così:
$(1/2)log_(1/3)3 - log_(1/3) 9$
$(1/2)log_(1/3)3 - log_(1/3) 9$
Ah ok. Va benissimo anche così. Ora sai quanto valgono $log_(1/3) 3 $ e $log_(1/3) 9$?
segui il consiglio di Gi8...
prova a semplificare quello che ti viene sotto radice $\sqrt (3/81)=...$ (la radice è per tutta la frazione)
prova a semplificare quello che ti viene sotto radice $\sqrt (3/81)=...$ (la radice è per tutta la frazione)
a me viene: il primo logaritmo $ -1/2$ e il secondo -2
sommandoli viene $ -5/2$
che nervi!!!
la risposta è $3/2$!!
in pratica il prima, da ciò che ho capito: $1/2 * (1/3)^(x)=3$ quindi $(1/2)* -1$
la seconda $(1/3)^(x)= 9$ quindi $-2$
sicuramente sarebbe più semplice seguire il tuo consiglio, ma non so nemmeno come ci arrivi a quella "cosa"
viene: il primo logaritmo $ -1/2$ e il secondo -2sommandoli viene $ -5/2$
che nervi!!!
la risposta è $3/2$!!
in pratica il prima, da ciò che ho capito: $1/2 * (1/3)^(x)=3$ quindi $(1/2)* -1$
la seconda $(1/3)^(x)= 9$ quindi $-2$
sicuramente sarebbe più semplice seguire il tuo consiglio, ma non so nemmeno come ci arrivi a quella "cosa"
Allora, $log_(1/3) 3$ è proprio $-1$ e $log_(1/3) 9$ è proprio $-2$, come dici te.
Hai sbagliato la cosa più semplice: il segno! Tu avevi
che diventa $1/2*(-1)-(-2)=-1/2+2=3/2$
Hai sbagliato la cosa più semplice: il segno! Tu avevi
"vitov87":
$(1/2)log_(1/3)3 - log_(1/3) 9$
che diventa $1/2*(-1)-(-2)=-1/2+2=3/2$
yyyyaaaaaaaaaaaaaaaakkkkkkkk!
ok....qui andavano applicate le varie proprietà del cavolo!
in questo caso invece?$log_(64) 2$ ????
o in questo $log_(0,001) 0,01$???
ragazzi sto impazzendo davvero!
ok....qui andavano applicate le varie proprietà del cavolo!
in questo caso invece?$log_(64) 2$ ????
o in questo $log_(0,001) 0,01$???
ragazzi sto impazzendo davvero!
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