Ljung-Box test di randomicità

[robbstark1]

Volendo valutare l'ipotesi che un segnale temporale residuo che ottengo da un'analisi sia white noise ho trovato in rete che un test che fa al mio caso è il Ljung-Box portmanteau test. Esso consiste nel calcolare il parametro $Q$:
[tex]Q= n(n+2) \sum_{ \tau=1}^m \frac{ \rho_{ \tau}^2}{n- \tau}[/tex]
dove [tex]\rho_{ \tau}^2[/tex] è l'autocorrelazione con lag [tex]\tau[/tex], [tex]m[/tex] è il numero di lags usati, ed [tex]n[/tex] è il numero di dati della serie temporale (se ho ben capito).
L'ipotesi che il residuo sia white noise è accettabile se [tex]Q < \chi_{1- \alpha, h}^2[/tex], dove [tex]\chi_{1- \alpha, h}^2[/tex] è l'[tex]\alpha[/tex]-quantile della distribuzione del chi quadrato con [tex]h[/tex] gradi di libertà.

Nonostante la spiegazione non ho ben capito cosa sia [tex]\chi_{1- \alpha, h}^2[/tex] e come si calcoli.

Faccio un esempio pratico, per vedere fino a che punto ho capito correttamente:
Voglio stabilire se la seguente successione può temporale può essere classificata come white noise:
[tex]-5 \quad -4 \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5[/tex]
Decido di usare lags [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex]. Dunque le autocorrelazioni sono:
[tex]\rho_1^2 = (-5)*(-4) + (-4)*(-3) + (-3)*(-2) + (-2)*(-1) + (-1)*0 + 0*1 + 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 = 80[/tex]
[tex]\rho_2^2 = (-5)*(-3) + (-4)*(-2) + (-3)*(-1) + (-2)*0 + (-1)*1 + 0*2 + 1*3 + 2*4 + 3*5 = 51[/tex]
[tex]\rho_3^2 = (-5)*(-2) + (-4)*(-1) + (-3)*0 + (-2)*1 + (-1)*2 + 0*3 + 1*4 + 2*5 = 24[/tex]
[tex]\rho_4^2 = (-5)*(-1) + (-4)*0 + (-3)*1 + (-2)*2 + (-1)*3 + 0*4 + 1*5 = 0[/tex]
Dunque dovrebbe essere:
[tex]Q=11*13 \left ( \frac{80}{10} + \frac{51}{9} + \frac{24}{8} + \frac{0}{7} \right )[/tex]
Fin qui è corretto?
A questo come calcolo [tex]\chi_{1- \alpha, h}^2[/tex]? Quanti sono i gradi di libertà? (Direi che sono 7)

Vanno bene anche risposte parziali, dato che ho necessità di capire in fretta questo test.

[robbstark1]

Riprendo questo vecchio post per cercare chiarimenti su come usare questo test per valutare la randomicità di un segnale.
Ho provato ad applicarlo sia a dei residui di un modello testato su dati reali, sia a serie random generate con matlab.
Ho confrontato i correlogrammi e i grafici relativi ai p-valori.
Per quanto riguarda i correlogrammi non noto particolari differenze tra i residui reali e le serie random, i dati reali, almeno in un caso, hanno un picco leggermente più alto (del $20-30%$) rispetto agli altri picchi. Questa potrebbe essere un'indicazione, ma è quantificabile?
Per quanto riguarda i p-valori noto che variano molto anche tra una serie random e un'altra, sia nell'andamento generale che nel valore medio. Osservo che da un certo posto in poi saturano a 0. Un p-valore basso indica una scarsa randomicità? Se è così, una serie è "più random" di un'altra se la saturazione a 0 dei p-valori avviene dopo? Perchè comunque in ogni caso, oltre un certo lag i p-valori vanno a 0?

Ovviamente se sapete suggerirmi delle dispense o libri che trattano abbastanza bene questi argomenti (autocorrelazioni, p-valori, ecc.) sia dal punto di vista concettuale che pratico sarebbe l'ideale.


Piccola nota tecnica:
quelle che ho calcolato nel post precedente credo siano le $\rho_i$, $i=1,...,4$, non le $rho_i^2$. Corretto?