[Lanczos] - Alcuni strani autovalori

[Lory314]

Ciao ragazzi. Vi scrivo per una cosa abbastamza urgente.
Ho scritto un algoritmo di Lanczos in MatLab per ridurre una matrice simmetrica $A$ in forma tridiagonale e poi calcolo i suoi autovalori con il comando eig. Poi ho confrontato gli autovalori di $A$ gli autovalori della matrice triadiagonale $T$ e non riesco a spiegarmi perchè compaiano certi valori. Probabilmente mi sfugge qualcosa in Lancozs? O l'ho implementato in maniera sbagliata?
I testi li ho ho fatti su una matrice simmetrica tale che $A_{i,j} = (i+j)/2$ ottenibile con questo codice:

function A = matrice(N)

for i=1:N
    for j=1:N
        A(i,j)=(i+j)/2;
    end
end

end

Mentre questo è l'algoritmo di Lanczos:

function T = lanczos(A,Nmax)

[r c]=size(A);

v(:,1)=zeros(r,1);
v(:,2)=rand(r,1);
v(:,2)=v(:,2)./norm(v(:,2));

beta(1)=0;

for j=2:Nmax+1
   w(:,j-1) = A*v(:,j) - beta(j-1)*v(:,j-1);
   alpha(j-1) = w(:,j-1)'*v(:,j-1);
   w(:,j-1) = w(:,j-1) - alpha(j-1)*v(:,j-1);
   beta(j)=norm(w(:,j-1));
   v(:,j+1) = w(:,j-1)/beta(j);
end
beta=beta(2:end-1);


T = diag(alpha) + diag(beta,-1) + diag(beta,1);


end

Con $N=25$ e $Nmax=15$ ottengo:

  eigA =

 -2.3326e+001
 -4.4082e-014
 -8.8909e-015
 -7.1030e-015
 -5.2336e-015
 -4.4061e-015
 -3.2682e-015
 -2.9234e-015
 -2.7111e-015
 -1.8849e-015
 -1.3176e-015
 -7.5872e-016
  2.7761e-016
  6.0062e-016
  1.0938e-015
  1.9615e-015
  2.3502e-015
  2.9748e-015
  3.2312e-015
  3.9092e-015
  4.7404e-015
  6.5309e-015
  8.7000e-015
  4.8025e-014
  3.4833e+002


eigT =

 -3.4833e+002
 -3.4833e+002
 -3.4833e+002
 -2.3326e+001
 -2.3326e+001
 -2.3326e+001
 -3.6715e-014
  2.1872e-014
  7.8645e-014
  2.3326e+001
  2.3326e+001
  2.3326e+001
  3.4833e+002
  3.4833e+002
  3.4833e+002

Perchè ottengo ad esempio quella serie di 3.4833....? I

[Lory314]

Penso di aver trovato la risposta che cercavo. Riporto qua quanto letto online. Magari può essere utile ad altri:
Consiglio la lettura dell'esempio numerico a pagine 162:
http://people.inf.ethz.ch/arbenz/ewp/Ln ... apter9.pdf

[Lory314]

Ragazzi...continuo ad avere problemi con il metodo di Lanczos. Ho seguito il pdf che ho pubblicato in precedenza.
Sto testando il codice su una matrice simmetrica tale che $A_{i,i}=i$ e $A_{i,j}=1/j$ se $i\ne j$.
Il problema è che finché la matrice è $39\times39$ gli autovalori di $A$ e di $T$ sono simili (almeno quelli estremi), poi da $40\times40$ inizia a calcolare bene solo la prima metà degli autovalori, e aumentando sempre di più la dimensione differiscono sempre di più, anche quelli estremi.
Il numero di iterazioni massimo lo calcolo come $\min(100,N)$.
Questo il codice:

function [T,alpha,beta,r] = lanczos_ort(A,Nmax)

% Lanczos con riortogonalizzazione

[nr nc]=size(A);

Q(:,1) = ones(nr,1)./norm(ones(nr,1));
r=A*Q(:,1);

alpha(1) = Q(:,1)'*r;
r = r - alpha(1)*Q(:,1);
beta(1)=norm(r);

for j=2:Nmax

   Q(:,j)=r./beta(j-1);
   r = A*Q(:,j)-beta(j-1)*Q(:,j-1);
   alpha(j) = Q(:,j)'*r;
   r = r - Q*(Q'*r);	
   beta(j) = norm(r);

   if (beta(j)==0)
      T = diag(alpha)+diag(beta(1:end-1),1)+diag(beta(1:end-1),-1);
	printf("Happy Breakdown\n");
      return;
   end
end

T = diag(alpha) + diag(beta(1:end-1),-1) + diag(beta(1:end-1),1);


end

Sarei davvero grato se qualcuno riuscisse ad aiutarmi.