Lagrange e spline cubiche
Perchè se ho 4 punti, il polinomi interpolatore di lagrange e la spline cubica coincidono?
Risposte
Detto così ci capisco poco. Come la calcoli la spline cubica? Naturale, not a knot, ecc.. oppure usi i 4 punti per determinare la spline? Perché se fai nell'ultimo modo stai praticamente cercando un polinomio interpolante con 4 punti di interpolazione, ed è dimostrabile che il polinomio interpolante è unico, quindi la tua spline coincide con il polinomio calcolato con la base di Lagrange.
Io spero sia questa la risposta.
Io spero sia questa la risposta.
non lo so, io usa quella che usa matlab...
Io quello che so è che una spline cubica per n punti ha due gradi di libertiamo che possiam odecidere noi come riempire.
Io quello che so è che una spline cubica per n punti ha due gradi di libertiamo che possiam odecidere noi come riempire.
Si si corretto.
Allora ragioniamo. Matlab usa la spline cubica not a knot, ovvero i due gradi di libertà sono decisi dalle condizioni
[tex]S_3'''|_{[x_0,x_1]}(x_1) = S_3'''|_{[x_1,x_2]}(x_1), \quad S_3'''|_{[x_{n-2},x_{n-1}]}(x_{n-1}) = S_3'''|_{[x_{n-1},x_{n}]}(x_{n-1})[/tex]
Ovvero che la spline cubica calcolata nel primo sottointervallo coincida con la spline cubica calcolata nel secondo intervallo, e che la spline cubica calcolata nel penultimo intervallo coincida con la spline cubica calcolata nell'ultimo intervallo.
Ora, dato che usi 4 punti, chiamati [tex]x_0, x_1, x_2, x_3[/tex], il primo sotto intervallo è [tex][x_0, x_1][/tex], il secondo [tex][x_1, x_2][/tex], il penultimo è [tex][x_1, x_2][/tex] e l'ultimo è [tex][x_2, x_3][/tex]!!!
Quindi tu stai dicendo, come condizioni aggiuntive di interpolazione, che il polinomio deve essere identico in ogni sotto intervallo di interpolazione, ovvero è un polinomio unico su tutto l'intero intervallo di interpolazione [tex][x_0, x_3][/tex]. Data l'unicità del polinomio interpolante, ecco perché la spline cubica di matlab (una spline not a knot) e il polinomio in forma di lagrange, sono lo stesso polinomio!
Capito?
Allora ragioniamo. Matlab usa la spline cubica not a knot, ovvero i due gradi di libertà sono decisi dalle condizioni
[tex]S_3'''|_{[x_0,x_1]}(x_1) = S_3'''|_{[x_1,x_2]}(x_1), \quad S_3'''|_{[x_{n-2},x_{n-1}]}(x_{n-1}) = S_3'''|_{[x_{n-1},x_{n}]}(x_{n-1})[/tex]
Ovvero che la spline cubica calcolata nel primo sottointervallo coincida con la spline cubica calcolata nel secondo intervallo, e che la spline cubica calcolata nel penultimo intervallo coincida con la spline cubica calcolata nell'ultimo intervallo.
Ora, dato che usi 4 punti, chiamati [tex]x_0, x_1, x_2, x_3[/tex], il primo sotto intervallo è [tex][x_0, x_1][/tex], il secondo [tex][x_1, x_2][/tex], il penultimo è [tex][x_1, x_2][/tex] e l'ultimo è [tex][x_2, x_3][/tex]!!!
Quindi tu stai dicendo, come condizioni aggiuntive di interpolazione, che il polinomio deve essere identico in ogni sotto intervallo di interpolazione, ovvero è un polinomio unico su tutto l'intero intervallo di interpolazione [tex][x_0, x_3][/tex]. Data l'unicità del polinomio interpolante, ecco perché la spline cubica di matlab (una spline not a knot) e il polinomio in forma di lagrange, sono lo stesso polinomio!
Capito?
grazie mille! 
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