Karush-Kuhn-Tucker

[m.fumagalli68]

Buongiorno a tutti. il problema su cui ho difficoltà è il prob.23 pag 133 del libro di Lange "Optimitazion"
qui il testo
Suppose that $ v_1....v_m $ are orthogonal eigenvectors of the n x n symmetric matrix M.
Subject to the constraints
 $ g_1(x) $ = $ || x|| ^2=1 $ , $ g_2(x) $ = $ v'x=1 $
show that a minimum of $ x'Mx $ must coincide with an eigenvector of M.

Ho iniziato con la risoluzione calcolando:
$ grad f=2Ax $
e $ grad g_1=2x $
e $ grad g_2=v $ .

Quindi $ 2Ax=lambda _1(2x)+lambda_2(v) $ . Ora avrei $ x=(lambda_2 v)/(2A-2lambda_2) $ . Dovrei tornare indietro e verificare che le due funzioni g(x)=0 e trovare un valore di lambda da poter mettere dentro. Mi vengono i lambda uguale a zwero il che mi mette a disagio. Qualcuno può darmi una mano?

[Intermat]

Scusa credo di non aver capito bene il secondo vincolo. Scritto in quel modo sembra che $v$ sia un autovettore unico (e non saprei quale degli m), non è che in verità hai $v_i$ e hai di conseguenza m vincoli di tipo $g_2(x)$?
Inoltre, la $A$ che riporti nell'ultima formula cosa sarebbe? A logica se con $f(x)$ chiami la $text(f.o.)$ allora avresti $grad f(x)= 2Mx$ dove $M$ è la matrice data. Se fosse così non puoi scrivere la formula finale in quel modo.