Iterazione funzionale: esercizio
Salve a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per questo esercizio. L'ho in parte risolto, ma vorrei avere innanzitutto conferma che quanto ho fatto è corretto e inoltre ho difficoltà con qualche punto.
TESTO
Sia data la funzione
$f(x) = x^3 + log(6x) − 1$ per $ x > 0$
(a) Individuare il numero di zeri di f(x) e fornire degli intervalli di separazione per tali punti.
(b) Data la funzione $g(x) = (e^(1-x^3))/6$ mostrare che i punti fissi di $g(x)$ sono zeri di $f(x)$.
(c) Per ogni x > 0 e per ogni zero di $f(x)$ si studi la convergenza monotona o alternata, l’ordine di convergenza e la scelta del punto iniziale x0 del metodo di iterazione funzionale xk+1 = g(xk).
(d) Scirvere una function che implementi il metodo iterativo proposto e verificare sperimentalmente il tipo di convergenza e l’ordine del metodo discussi al punto precedente.
RISOLUZIONE
Innanzitutto tramite lo studio delle derivate ho verificato che c'è un solo zero (e si trova circa a x=0,42).
Però l'ho ottenuto molto sperimentalmente: come giustifico tale risultato? Con un'analisi grafica magari? Poi, che intervallo devo fornire? Visto che è solo uno, da chi lo devo separare??
Per il punto b) niente di che, si tratta di una catena di uguaglianze abbastanza banali: partendo dalla definizione di punto fisso, ossia $\alpha$ t.c. $g(\alpha)=alpha$, vado a lavorare sull'uguaglianza $x=(e^(1-x^3))/6$ e ottengo proprio la tesi, cioè che equivale a $f(x)=0$.
Ancora studiando la derivata di g(x) ottengo che la convergenza è alternata, perchè tale derivata risulta essere sempre compresa tra -1 e 0. Ma come calcolo l'ordine di convergenza?
Che derivata devo studiare?
Poi, l'ultimo punto l'ho risolto anch'esso, e conferma la convergenza alternata (tramite una rappresentazione grafica si vede che la successione di $x_k$ tende al limite "andando su è giù", e mi scuso per il linguaggio terra terra).
Mi manca diciamo la parte dell'analisi dell'ordine del metodo, perchè non capisco bene se devo andare a studiare la derivata di g o quella di f, e che cosa devo sostituire nelle varie derivate.
Cioè, ci avevo provato, ma mi veniva ordine 1 e mi sembrava strano...
Grazie in anticipo e buon pomeriggio.
TESTO
Sia data la funzione
$f(x) = x^3 + log(6x) − 1$ per $ x > 0$
(a) Individuare il numero di zeri di f(x) e fornire degli intervalli di separazione per tali punti.
(b) Data la funzione $g(x) = (e^(1-x^3))/6$ mostrare che i punti fissi di $g(x)$ sono zeri di $f(x)$.
(c) Per ogni x > 0 e per ogni zero di $f(x)$ si studi la convergenza monotona o alternata, l’ordine di convergenza e la scelta del punto iniziale x0 del metodo di iterazione funzionale xk+1 = g(xk).
(d) Scirvere una function che implementi il metodo iterativo proposto e verificare sperimentalmente il tipo di convergenza e l’ordine del metodo discussi al punto precedente.
RISOLUZIONE
Innanzitutto tramite lo studio delle derivate ho verificato che c'è un solo zero (e si trova circa a x=0,42).
Però l'ho ottenuto molto sperimentalmente: come giustifico tale risultato? Con un'analisi grafica magari? Poi, che intervallo devo fornire? Visto che è solo uno, da chi lo devo separare??
Per il punto b) niente di che, si tratta di una catena di uguaglianze abbastanza banali: partendo dalla definizione di punto fisso, ossia $\alpha$ t.c. $g(\alpha)=alpha$, vado a lavorare sull'uguaglianza $x=(e^(1-x^3))/6$ e ottengo proprio la tesi, cioè che equivale a $f(x)=0$.
Ancora studiando la derivata di g(x) ottengo che la convergenza è alternata, perchè tale derivata risulta essere sempre compresa tra -1 e 0. Ma come calcolo l'ordine di convergenza?
Che derivata devo studiare?
Poi, l'ultimo punto l'ho risolto anch'esso, e conferma la convergenza alternata (tramite una rappresentazione grafica si vede che la successione di $x_k$ tende al limite "andando su è giù", e mi scuso per il linguaggio terra terra).
Mi manca diciamo la parte dell'analisi dell'ordine del metodo, perchè non capisco bene se devo andare a studiare la derivata di g o quella di f, e che cosa devo sostituire nelle varie derivate.
Cioè, ci avevo provato, ma mi veniva ordine 1 e mi sembrava strano...
Grazie in anticipo e buon pomeriggio.
Risposte
se c'è un unico zero puoi usare come intervallo gli interi più vicini cioè $0$ e $1$, di solito le verifica con un grafico va bene per dimostrarlo
per l'ordine del metodo devi studiare la derivata della funzione di iterazione, quindi in questo caso $g'(x)$
per l'ordine del metodo devi studiare la derivata della funzione di iterazione, quindi in questo caso $g'(x)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo