Interpolazione polinomiale

[gygabyte017]

Ciao a tutti, devo risolvere il seguente problema:

Dati n+1 punti del tipo $(x_i,y_i)$ tutti distinti, trovare il polinomio $p(x)$ che passa per tutti i punti e tale che $1/(x_n - x_0) int_(x_0)^(x_n) p(x) = C$ con $C$ costante fissata.

Ora, una volta trovato il polinomio interpolante con i classici metodi, c'è un modo veloce per modificarlo riuscendo ad aggiungere la condizione della media senza dover pensare ad un nuovo metodo risolutivo da zero?

Grazie

[dissonance]

Tu sostanzialmente devi aggiungere un nodo $x^\star$ alla lista $x_0, ..., x_n$ e imporre una condizione su questo nodo in modo tale che il polinomio di interpolazione che ne risulta verifichi quella identità integrale. Più esplicitamente:

sia $P_n(x)$ il polinomio di grado $n$ tale che $P_n(x_i)=y_i$ per ogni $i$. Detto $x^\star$ un punto da determinarsi, e $y^\star$ un numero reale pure da determinarsi, sia $P_{n+1}(x)$ il polinomio di grado $n+1$ tale che $P_{n+1}(x_i)=y_i, P_{n+1}(x^\star)=y^\star$.

Io prenderei spunto dalla rappresentazione di Newton del polinomio di interpolazione per costruire $P_{n+1}$. Prendiamo come $x^\star$ uno zero di $P_n$ (ATTENZIONE: sto assumendo che $P_n$ abbia almeno uno zero. Questo non è sempre vero) diverso da $x_0, ..., x_n$, e chiamiamo $Pi(x)=(x-x_0)...(x-x_n)$. E' facile allora rappresentare $P_{n+1}$:

$P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+\frac{y^\star}{Pi(x^\star)}Pi(x)$.

Calcoliamo la media integrale:

$1/(x_n+x_0)\int_{x_0}^{x_n}P_{n+1}(x)\ dx= 1/(x_n+x_0)\int_{x_0}^{x_n}P_n(x)\ dx+1/(x_n+x_0)\int_{x_0}^{x_n}\frac{y^\star}{Pi(x^\star)}Pi(x)\ dx$;

imponendo che quest'ultima sia uguale a $C$, si ottiene una condizione dalla quale ricavare $y^\star$ e di conseguenza anche $P_{n+1}(x)$. Il polinomio $p$ richiesto è allora $p(x)=P_{n+1}(x)$.

[gygabyte017]

Perfetto, grazie! Avevo capito che si poteva fare aggiungendo un punto in modo da usare l'integrale, ma non ero riuscito a concludere...
Grazie!