Integrazione numerica-Cavalieri Simpson
Scusate se posto qui ma purtroppo non sono riuscito a postare nella sezione più generale "università"...
avevo una semplice domanda... il metodo di integrazione di Cavalieri Simpson approssima, secondo il mio testo, con un una precisione di $s=n+1$;
finchè cioè le funzioni da approssimare sono di grado $<=3$ essendo $n+1=3$ (ricordo che si ha $n=2$ nel metodo di Cavalieri) l'approssimazione è esatta, cioè $E_T=0$. Tuttavia so che il polinomio approssimante non è altro che un arco di parabola... mi chiedevo, magari anche stupidamente, come fa un arco di parabola ad approssimare in modo esatto un polinomio di 3° grado?
avevo una semplice domanda... il metodo di integrazione di Cavalieri Simpson approssima, secondo il mio testo, con un una precisione di $s=n+1$;
finchè cioè le funzioni da approssimare sono di grado $<=3$ essendo $n+1=3$ (ricordo che si ha $n=2$ nel metodo di Cavalieri) l'approssimazione è esatta, cioè $E_T=0$. Tuttavia so che il polinomio approssimante non è altro che un arco di parabola... mi chiedevo, magari anche stupidamente, come fa un arco di parabola ad approssimare in modo esatto un polinomio di 3° grado?
Risposte
Questo non la considererei una domanda di geometria... La dovresti spostare in analisi numerica o, al limite, in analisi matematica.
Il mio libro ha i passaggi algebrici con cui viene calcolato l'errore. Penso che li abbia anche il tuo... magari guardandoli dovrebbe tornarti.
Comunque pensa agli integrali di Riemann e alla sua definizione. L'integrale è molto simile ad una sommatoria. Per farti capire facilmente faccio un esempio con 4 numeri... 4+5 = 6+3 Eppure i numeri non sono uguali, nella stessa maniera è la somma delle due parti delle due funzioni ad essere uguali anche se le due funzioni sono diverse. Tieni presente che questa non è una interpolazione di polinomi ma l'approssimazione di un integrale e quindi solo il risultato dell'integrale conta...
P.S: Il metodo di quadratura di Gauss è addirittura una retta...
Il mio libro ha i passaggi algebrici con cui viene calcolato l'errore. Penso che li abbia anche il tuo... magari guardandoli dovrebbe tornarti.
Comunque pensa agli integrali di Riemann e alla sua definizione. L'integrale è molto simile ad una sommatoria. Per farti capire facilmente faccio un esempio con 4 numeri... 4+5 = 6+3 Eppure i numeri non sono uguali, nella stessa maniera è la somma delle due parti delle due funzioni ad essere uguali anche se le due funzioni sono diverse. Tieni presente che questa non è una interpolazione di polinomi ma l'approssimazione di un integrale e quindi solo il risultato dell'integrale conta...
P.S: Il metodo di quadratura di Gauss è addirittura una retta...
no ciò che intendevo io è capire se è possibile che una funzione di secondo grado possa approssimare senza errore una di terzo, o se semplicemente c'è un errore nel libro (o nella mia interpretazione, sebbene non penso ci sia molto da interpretare in quella definizione). comunque il libro è "Lezioni di Calcolo Numerico" di G. Zilli e A. Mazzia.
Non sta approssimando la funzione, ma solo il valore dell'area sottesa... Le due funzioni sono uguali in 3 punti, La differenza tra le due aree prima del punto intermedio viene recuperata nella seconda parte. La precisione è giusta, sei tu che non stai comprendendo il metodo... Come ti dicevo prima esistono metodi che hanno una precisione 3 anche se sono lineari e d'altra parte il teorema della media integrale dice che esiste un valore $c$ tale che l'integrale nell'intervallo della retta $y = f(c)$ è uguale all'integrale della retta in quell'intervallo (il trovare questo punto è però molto più difficile che i metodi solitamente usati)...
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