Integrazione metodo dei trapezi
Salve a tutti, devo risolvere il seguente integrale numericamente con il metodo dei trapezi:
$ int_(1)^(3) 1/(x-1)^(3/4) dx $
Divido l'intervallo il 6 sub-intervalli (lo chiede l'esercizio) e calcolo i relativi valori dell'integranda agli estremi dei suddetti intervalli. Piccolo problemuccio: come faccio a calcolare il valore dell'integranda per x = 1 senza risolvere l'integrale analiticamente?
$ int_(1)^(3) 1/(x-1)^(3/4) dx $
Divido l'intervallo il 6 sub-intervalli (lo chiede l'esercizio) e calcolo i relativi valori dell'integranda agli estremi dei suddetti intervalli. Piccolo problemuccio: come faccio a calcolare il valore dell'integranda per x = 1 senza risolvere l'integrale analiticamente?
Risposte
A volte gli integrali son proprio magici! Fai un cambio di variabile (\(x-1=t^4\)) e il problema non solo è risolto, ma è pure notevolmente semplificato (la funzione integranda è ora costante).
Pare adesso che la parte algoritmica sia addirittura superflua, però penso che lo scopo dell'esercizio fosse per l'appunto risolvere la singolarità.
Alternativamente, ma in maniera molto più rozza, alteri appena l'estremo inferiore (ad esempio anziché prendere \(1\) consideri \(1.0001\)), approssimando il valore dell'integrale, che tuttavia è già un'approssimazione se computato per mezzo del metodo dei trapezi.
Pare adesso che la parte algoritmica sia addirittura superflua, però penso che lo scopo dell'esercizio fosse per l'appunto risolvere la singolarità.
Alternativamente, ma in maniera molto più rozza, alteri appena l'estremo inferiore (ad esempio anziché prendere \(1\) consideri \(1.0001\)), approssimando il valore dell'integrale, che tuttavia è già un'approssimazione se computato per mezzo del metodo dei trapezi.
Boia, che figata ahahahah Provvidenziale questa sostituzione, grazie mille! Comunque a modificare l'estremo di integrazione ci avevo pensato, ma non sembra funzionare perché, tendendo ad infinito, l'integranda restituisce valori comunque troppo grandi per x = 1.qualcosa; tali valori vanno a sballare l'algoritmo... Credo che un simile approccio sia fattibile solo in presenza di discontinuità di prima o terza specie.
Muovere di poco l'estremo di integrazione è invece una buona soluzione, perché il nuovo integrale sarà un integrale proprio. Al limite può essere una questione di scegliere adeguatamente i nodi di integrazione, ma il risultato deve uscire.
Scusa, ma in questo caso come fa a funzionare? Avendo diviso il l'intervallo in 6 sottointervalli ho usato i valori $ 1/3 $, $ 2/3 $, $ 2 $ , ecc... come estremi. Se calcolo la funzione in quei punti ottengo valori "piccoli" (introno a 2 o 3 mi pare), anche perché l'integrale della funzione è circa 4, mentre se vado a calcolare l'integranda in un intorno di 1 ottengo sempre valori spropositati (in $ 1.0001 f(x) = 1000 $) che quindi sballano la soluzione.
I valori che calcoli vanno moltiplicati per \(\Delta x\), che aumentando il numero di intervalli diventa sempre più piccolo e fa pesare di meno i valori grandi che sono solo in una singolarità del dominio.
Da $ 1/3 $ ad $ 1.0001 $ posso considerare il $DeltaX $ comunque uguale ad $ 1/3 $ quindi costante. Dunque non cambia molto, o magari non sto capendo. Se suddivido il grafico in aree più piccole per calcolarle non cambia molto che sia da 1 o da 1.00001, credo.
"dRic":
Da $ 1/3 $ ad $ 1.0001 $ posso considerare il $DeltaX $ comunque uguale ad $ 1/3 $ quindi costante.
Eh??
"dRic":
Se suddivido il grafico in aree più piccole per calcolarle non cambia molto che sia da 1 o da 1.00001, credo.
Ad esempio, cambia che in uno dei due non puoi calcolare la funzione.
Allora, io per il calcolo dell'integrale devo usare questa formula:
$ h/2(f(x_0)+f(x_f) +sum2f(x_i)) $ dove $ h $ è l'ampiezza dei sub-intervalli (che sono tutti uguali a $ 1/3 $ nel mio caso) e $ x_i $ sono i punti che ho preso per per delimitare i sub-intervalli. Ovviamente La sommatoria perte per $ i = 1 $ e finisce per $ i = n $ e $x_f$ è l'ultimo estremo dell'intervallo, così come $x_0$ è il primo. Se anche $x_0$ diventa 1.00001 al posto di 1 l'algoritmo usato fa comunque schifo.
$ h/2(f(x_0)+f(x_f) +sum2f(x_i)) $ dove $ h $ è l'ampiezza dei sub-intervalli (che sono tutti uguali a $ 1/3 $ nel mio caso) e $ x_i $ sono i punti che ho preso per per delimitare i sub-intervalli. Ovviamente La sommatoria perte per $ i = 1 $ e finisce per $ i = n $ e $x_f$ è l'ultimo estremo dell'intervallo, così come $x_0$ è il primo. Se anche $x_0$ diventa 1.00001 al posto di 1 l'algoritmo usato fa comunque schifo.
Comunque scusami per il mio commento che non hai capito, l'ho riletto ora e l'ho scritto veramente male, avevo un po' fretta... 
L'algoritmo fa schifo perché stai usando pochi intervalli. Il risultato sarà soddisfacente quando \(\Delta x = h\) sarà sufficientemente piccolo.
Hai ragione... Però il prof ci ha detto di usare quei valori lì, quindi immaginavo che la sostituzione fosse l'unica soluzione.
Se il prof ti chiede di usare un algoritmo e ti da gli intervalli allora devi semplicemente applicare l'algoritmo indipendentemente se questo produca o meno risultati soddisfacenti. Al limite puoi aggiungere un commento sul perché l'errore è grande. Un'altra cosa sarebbe se il professore ti chiedesse di determinare una dimensione degli intervalli appropriata.
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