Immenso sistema di equazioni di secondo grado - suggerimenti
Salve a tutti, nuovo arrivato nel forum. Con i problemi matematici me la sono sempre cavato da solo, ma in questo caso una mano, un suggerimento, un'idea mi farebbero molto comodo...
ho un sistema formato da equazioni di questo tipo:
$p_{i,j,k,l} = s_{i+k,j+l} \times f_{i,j} + d_{i,j}$
con:
$1
$lmax, kmax <$$< m,n$
dove i termini $s$, $f$ e $d$ sono incognite.
il fatto che il sistema sia risolvibile è assicurato dall'ipotesi che:
$ kmax \times lmax - m/kmax - n/lmax - (kmax \times lmax)/(m \times n) > 3$
In realtà il sistema ha ben più equazioni che incognite (cioè sceglierò kmax e lmax sufficientemente grandi allo scopo) perché, essendo i valori affetti da rumore, ho bisogno di una soluzione "ai minimi quadrati", qualcosa di analogo al metodo della pseudoinversa per i sistemi lineari.
Ho provato a scrivere in forma di matrice il sistema in diversi modi, ma non mi si è accesa alcuna lampadina: suggerimenti?
[xdom="Martino"]Credo che la sezione più adatta sia Analisi numerica. Sposto.[/xdom]
ho un sistema formato da equazioni di questo tipo:
$p_{i,j,k,l} = s_{i+k,j+l} \times f_{i,j} + d_{i,j}$
con:
$1
$lmax, kmax <$$< m,n$
dove i termini $s$, $f$ e $d$ sono incognite.
il fatto che il sistema sia risolvibile è assicurato dall'ipotesi che:
$ kmax \times lmax - m/kmax - n/lmax - (kmax \times lmax)/(m \times n) > 3$
In realtà il sistema ha ben più equazioni che incognite (cioè sceglierò kmax e lmax sufficientemente grandi allo scopo) perché, essendo i valori affetti da rumore, ho bisogno di una soluzione "ai minimi quadrati", qualcosa di analogo al metodo della pseudoinversa per i sistemi lineari.
Ho provato a scrivere in forma di matrice il sistema in diversi modi, ma non mi si è accesa alcuna lampadina: suggerimenti?
[xdom="Martino"]Credo che la sezione più adatta sia Analisi numerica. Sposto.[/xdom]
Risposte
Innanzitutto grazie per lo spostamento, in effetti sembrava anche a me un po' fuori posto ma non avevo trovato di meglio...
Non ho capito se il problema sia effettivamente arduo o se necessiti di ulteriori chiarimenti: nel secondo caso sono a disposizione!
Da ingegnere tollererei anche una soluzione brutale per approssimazioni successive (tanto con la potenza di calcolo di Matlab è solo questione di tempo, e non moltissimo), del tipo che potrei portare il sistema nella forma
$b = A \times x$,
e risolverlo iterativamente, magari partendo da una stima di $s_(i,j)$ e ponendo inizialmente a zero i $d_(i,j)$. In tal caso però dovrei trovare il modo di assicurarmi che un simile approccio converga...
Non ho capito se il problema sia effettivamente arduo o se necessiti di ulteriori chiarimenti: nel secondo caso sono a disposizione!
Da ingegnere tollererei anche una soluzione brutale per approssimazioni successive (tanto con la potenza di calcolo di Matlab è solo questione di tempo, e non moltissimo), del tipo che potrei portare il sistema nella forma
$b = A \times x$,
e risolverlo iterativamente, magari partendo da una stima di $s_(i,j)$ e ponendo inizialmente a zero i $d_(i,j)$. In tal caso però dovrei trovare il modo di assicurarmi che un simile approccio converga...
La soluzione più ovvia al momento mi pare questa
http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/dottorato2009/zeri.pdf
Newton-Raphson.
Certo uno jacobiano 3.000.000 x 100.000.000 è un bel casotto...
http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/dottorato2009/zeri.pdf
Newton-Raphson.
Certo uno jacobiano 3.000.000 x 100.000.000 è un bel casotto...
Premetto che non è molto chiaro il problema, però il metodo di newton di solito è la scelta più popolare.
Ora come ora non saprei bene come altro consigliarti.. Puoi scrivere magari qualcuna delle equazioni? O dare più dettagli sul problema..
Ora come ora non saprei bene come altro consigliarti.. Puoi scrivere magari qualcuna delle equazioni? O dare più dettagli sul problema..
per chiarezza riporto la definizione iniziale del problema:
$p_{i,j,k,l} = s_{i+k,j+l} \times f_{i,j} + d_{i,j}$
con:
$1
$lmax, kmax <$$< m,n$
dove i termini $s$, $f$ e $d$ sono incognite.
il fatto che il sistema sia risolvibile è assicurato dall'ipotesi che:
$ kmax \times lmax - kmax/m - lmax/n - (kmax \times lmax)/(m \times n) > 3$
e provo a fare un esempio più concreto:
ho una matrice $f$, 5x5, di valori compresi fra 0 e 1, incognita;
ho una matrice $d$, 5x5, di valori compresi fra 0 e 1, incognita;
ho una matrice $s$, 7x7, di valori compresi fra 0 e 1, incognita;
quindi $m =5, n=5, kmax=2, lmax=2$
prendo in $s$ tutte le sottomatrici 5x5 - ce ne sono 9 - e avrò quindi 9x5x5=225 equazioni in 5x5+5x5+7x7=99 incognite, del tipo:
$[[p_{1,1}, p_{1,2}, p_{1,3}, p_{1,4}, p_{1,5}],[p_{2,1}, p_{2,2}, p_{2,3}, p_{2,4}, p_{2,5}],[p_{3,1}, p_{3,2}, p_{3,3}, p_{3,4}, p_{3,5}],[p_{4,1}, p_{4,2}, p_{4,3}, p_{4,4}, p_{4,5}],[p_{5,1}, p_{5,2}, p_{5,3}, p_{5,4}, p_{5,5}]] = [[s_{1,1}, s_{1,2}, s_{1,3}, s_{1,4}, s_{1,5}],[s_{2,1}, s_{2,2}, s_{2,3}, s_{2,4}, s_{2,5}],[s_{3,1}, s_{3,2}, s_{3,3}, s_{3,4}, s_{3,5}],[s_{4,1}, s_{4,2}, s_{4,3}, s_{4,4}, s_{4,5}],[s_{5,1}, s_{5,2}, s_{5,3}, s_{5,4}, s_{5,5}]] .\times [[f_{1,1}, f_{1,2}, f_{1,3}, f_{1,4}, f_{1,5}],[f_{2,1}, f_{2,2}, f_{2,3}, f_{2,4}, f_{2,5}],[f_{3,1}, f_{3,2}, f_{3,3}, f_{3,4}, f_{3,5}],[f_{4,1}, f_{4,2}, f_{4,3}, f_{4,4}, f_{4,5}],[f_{5,1}, f_{5,2}, f_{5,3}, f_{5,4}, f_{5,5}]] + [[d_{1,1}, d_{1,2}, d_{1,3}, d_{1,4}, d_{1,5}],[d_{2,1}, d_{2,2}, d_{2,3}, d_{2,4}, d_{2,5}],[d_{3,1}, d_{3,2}, d_{3,3}, d_{3,4}, d_{3,5}],[d_{4,1}, d_{4,2}, d_{4,3}, d_{4,4}, d_{4,5}],[d_{5,1}, d_{5,2}, d_{5,3}, d_{5,4}, d_{5,5}]]$
dove per .X intendo la moltiplicazione fra elementi omologhi delle due matrici, così come è indicata in matlab
problema: non riesco a mettere gli indici agli elementi della matrice...
$p_{i,j,k,l} = s_{i+k,j+l} \times f_{i,j} + d_{i,j}$
con:
$1
$lmax, kmax <$$< m,n$
dove i termini $s$, $f$ e $d$ sono incognite.
il fatto che il sistema sia risolvibile è assicurato dall'ipotesi che:
$ kmax \times lmax - kmax/m - lmax/n - (kmax \times lmax)/(m \times n) > 3$
e provo a fare un esempio più concreto:
ho una matrice $f$, 5x5, di valori compresi fra 0 e 1, incognita;
ho una matrice $d$, 5x5, di valori compresi fra 0 e 1, incognita;
ho una matrice $s$, 7x7, di valori compresi fra 0 e 1, incognita;
quindi $m =5, n=5, kmax=2, lmax=2$
prendo in $s$ tutte le sottomatrici 5x5 - ce ne sono 9 - e avrò quindi 9x5x5=225 equazioni in 5x5+5x5+7x7=99 incognite, del tipo:
$[[p_{1,1}, p_{1,2}, p_{1,3}, p_{1,4}, p_{1,5}],[p_{2,1}, p_{2,2}, p_{2,3}, p_{2,4}, p_{2,5}],[p_{3,1}, p_{3,2}, p_{3,3}, p_{3,4}, p_{3,5}],[p_{4,1}, p_{4,2}, p_{4,3}, p_{4,4}, p_{4,5}],[p_{5,1}, p_{5,2}, p_{5,3}, p_{5,4}, p_{5,5}]] = [[s_{1,1}, s_{1,2}, s_{1,3}, s_{1,4}, s_{1,5}],[s_{2,1}, s_{2,2}, s_{2,3}, s_{2,4}, s_{2,5}],[s_{3,1}, s_{3,2}, s_{3,3}, s_{3,4}, s_{3,5}],[s_{4,1}, s_{4,2}, s_{4,3}, s_{4,4}, s_{4,5}],[s_{5,1}, s_{5,2}, s_{5,3}, s_{5,4}, s_{5,5}]] .\times [[f_{1,1}, f_{1,2}, f_{1,3}, f_{1,4}, f_{1,5}],[f_{2,1}, f_{2,2}, f_{2,3}, f_{2,4}, f_{2,5}],[f_{3,1}, f_{3,2}, f_{3,3}, f_{3,4}, f_{3,5}],[f_{4,1}, f_{4,2}, f_{4,3}, f_{4,4}, f_{4,5}],[f_{5,1}, f_{5,2}, f_{5,3}, f_{5,4}, f_{5,5}]] + [[d_{1,1}, d_{1,2}, d_{1,3}, d_{1,4}, d_{1,5}],[d_{2,1}, d_{2,2}, d_{2,3}, d_{2,4}, d_{2,5}],[d_{3,1}, d_{3,2}, d_{3,3}, d_{3,4}, d_{3,5}],[d_{4,1}, d_{4,2}, d_{4,3}, d_{4,4}, d_{4,5}],[d_{5,1}, d_{5,2}, d_{5,3}, d_{5,4}, d_{5,5}]]$
dove per .X intendo la moltiplicazione fra elementi omologhi delle due matrici, così come è indicata in matlab
problema: non riesco a mettere gli indici agli elementi della matrice...
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