Hermite
Salve a tutti, devo svolgere questo esercizio e:
Trovare P(x) che soddisfi le seguenti condizioni (di Hermite): p(0)=-1 , p'(1)=14 , p''(2)=40 , p(1)=5 e dire se il polinomio trovato è unico.
Prima di procedere con i calcoli volevo sapere se il grado del polinomio è 4.
Inoltre, in base alle condizioni date dal testo il sistema da risolvere è il seguente:
${: ( e=-1 ),( 4a + 3b + 2c + d = 14 ),( 24a + 6b + c = 20 ),( a+b+c+d=6 ) :}$
Trovare P(x) che soddisfi le seguenti condizioni (di Hermite): p(0)=-1 , p'(1)=14 , p''(2)=40 , p(1)=5 e dire se il polinomio trovato è unico.
Prima di procedere con i calcoli volevo sapere se il grado del polinomio è 4.
Inoltre, in base alle condizioni date dal testo il sistema da risolvere è il seguente:
${: ( e=-1 ),( 4a + 3b + 2c + d = 14 ),( 24a + 6b + c = 20 ),( a+b+c+d=6 ) :}$
Risposte
Sei sicuro che nella traccia non fosse specificato il grado di $P$? Comunque, facci caso: 4 condizioni individuano univocamente un polinomio di grado 3. In generale, $n+1$ condizioni individuano univocamente un polinomio di grado $n$. Per esempio, quando hai studiato i polinomi di interpolazione, hai mai notato che si prendono sempre $n+1$ nodi per avere un polinomio di grado $n$?
Si ho notato tutte queste cose...Innanzitutto il grado del polinomio non è specificato...Poi mi sono basato sulla regola per formulare il polinomio generico:
"Il grado del polinomio è il numero di nodi meno + il numero di derivate in $x_0$ + il numero di derivate in $x_1$ +....+ il numero di derivate in $x_n$" . Secondo me questa regola è giusta ma ambigua, nel senso sono da escludere quei nodi x per i quali si ha solo il valore della derivata (nel nostro caso per il nodo 2 si ha solo il valore della derivata seconda)...
Così rifacendo i calcoli il grado del polinomio è 3 , perchè i nodi sono 2; 2-1 come dice la regola per i nodi + le due derivate...Otteniamo così quindi 1+1+1=3....
Penso che la spiegazione sia questa....Correggetemi se sbaglio
"Il grado del polinomio è il numero di nodi meno + il numero di derivate in $x_0$ + il numero di derivate in $x_1$ +....+ il numero di derivate in $x_n$" . Secondo me questa regola è giusta ma ambigua, nel senso sono da escludere quei nodi x per i quali si ha solo il valore della derivata (nel nostro caso per il nodo 2 si ha solo il valore della derivata seconda)...
Così rifacendo i calcoli il grado del polinomio è 3 , perchè i nodi sono 2; 2-1 come dice la regola per i nodi + le due derivate...Otteniamo così quindi 1+1+1=3....
Penso che la spiegazione sia questa....Correggetemi se sbaglio
MMMh che confusione... Non è meglio parlare di "numero di condizioni"? Prendi un polinomio generico di grado al più $n$:
$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$
l'individuazione di questo polinomio richiede la determinazione di $n+1$ parametri: $a_0, a_1, ..., a_n$. Ma supponi di avere una equazione lineare che lega tra loro i coefficienti:
$lambda_0 a_0+...+lambda_n a_n=b$
se almeno uno tra i $lambda_j$ non è nullo (il che vuol dire che la tua equazione ha qualche utilità e non si riduce a $0=0$ o, peggio, a un cosa inconsistente come $0=1$) allora si può esprimere il corrispondente $a_j$ in funzione degli altri:
$a_j= -lambda_0/(lambda_j)a_0-...-(lambda_n)/(lambda_j)a_n+b$.
Adesso, per determinare il polinomio, restano solo $n$ parametri liberi. Ogni condizione aggiuntiva, a patto che sia indipendente dalle precedenti e sia consistente, fa scendere di $1$ il numero di parametri liberi: in particolare, se le condizioni indipendenti e consistenti sono $n+1$ il polinomio è univocamente determinato.
Se le condizioni sono di meno, il polinomio che le verifica non sarà unico; se invece sono di più, il polinomio potrebbe non esistere neanche.
Esempi:
Cerchiamo i polinomi $P_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ tale che $P_2(0)=P_2(1)=0$. Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema
${(a_0=0), (a_0+a_1+a_2=0):}$
da cui il polinomio cercato non è unico: per ogni scelta di $a\inRR$, il $P_2(x)=ax-ax^2$ verifica le condizioni volute.
Ora imponiamo che sia $P_2(0)=P_2(1)=P_2(2)=P_2(3)=0$. E' chiaro che il polinomio $P_2(x)=0$ è l'unica soluzione del problema. Ma è stato un caso fortunato: cambiando l'ultima condizione in $P_2(3)=1$, si ottiene un sistema incompatibile, ovvero non ci sono polinomi $P_2$ che le soddisfino.
$a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$
l'individuazione di questo polinomio richiede la determinazione di $n+1$ parametri: $a_0, a_1, ..., a_n$. Ma supponi di avere una equazione lineare che lega tra loro i coefficienti:
$lambda_0 a_0+...+lambda_n a_n=b$
se almeno uno tra i $lambda_j$ non è nullo (il che vuol dire che la tua equazione ha qualche utilità e non si riduce a $0=0$ o, peggio, a un cosa inconsistente come $0=1$) allora si può esprimere il corrispondente $a_j$ in funzione degli altri:
$a_j= -lambda_0/(lambda_j)a_0-...-(lambda_n)/(lambda_j)a_n+b$.
Adesso, per determinare il polinomio, restano solo $n$ parametri liberi. Ogni condizione aggiuntiva, a patto che sia indipendente dalle precedenti e sia consistente, fa scendere di $1$ il numero di parametri liberi: in particolare, se le condizioni indipendenti e consistenti sono $n+1$ il polinomio è univocamente determinato.
Se le condizioni sono di meno, il polinomio che le verifica non sarà unico; se invece sono di più, il polinomio potrebbe non esistere neanche.
Esempi:
Cerchiamo i polinomi $P_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ tale che $P_2(0)=P_2(1)=0$. Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema
${(a_0=0), (a_0+a_1+a_2=0):}$
da cui il polinomio cercato non è unico: per ogni scelta di $a\inRR$, il $P_2(x)=ax-ax^2$ verifica le condizioni volute.
Ora imponiamo che sia $P_2(0)=P_2(1)=P_2(2)=P_2(3)=0$. E' chiaro che il polinomio $P_2(x)=0$ è l'unica soluzione del problema. Ma è stato un caso fortunato: cambiando l'ultima condizione in $P_2(3)=1$, si ottiene un sistema incompatibile, ovvero non ci sono polinomi $P_2$ che le soddisfino.
Ok grazie 1000 per la chiara spiegazione
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