Formula di quadratura costruita su zeri di Chebyschev.

[compa90]

Buongiorno, ho il seguente integrale

$int_a^bf(x) dx$

e vorrei stimarlo utilizzando le formule di quadratura costruite sugli zeri del polinomio ortogonale di Chebyschev, ossia che si abbia

$int_a^b f(x)/(sqrt(1-x^2)) dx ~ pi/n sum_i^nf(x_i)$

dove gli $x_i$ zeri del polinomio ortogonale di Chebyschev.

Per semplicità suppongo che $f(x)=x, x \in [-5,5]$

Cambio di variabile
$x=5t$ dove la nuova variabile di integrazione è $t$, dove $t in [-1,1]$

$dx=5dt$, e $x=-5 \to t=-1, x=5 \ to t=1$

quindi

$int_(-5)^5x \dx=25int_(-1)^1 t\ dt$

dopodiché

$25int_(-1)^1 t\ dt= 25int_(-1)^1 (t) /sqrt(1-t^2) sqrt(1-t^2)\ dt $

Se ho fatto bene, dovrei integrare

$25int_(-1)^1 (t) /sqrt(1-t^2) sqrt(1-t^2)\ dt $

Vi chiedo se ho fatto bene fin qui.

Saluti

[compa90]

Ciao, qualcuno c'è ?

[feddy]

In sostanza vuoi ricondurti alla forma per cui puoi applicare la formula, dove ora $f=\sqrt{1-x^2}x$. E' sostanzialmente quanto viene fatto a questo link che ho trovato googlando un po' a caso (ultima pagina, esempio 3.2) https://epgp.inflibnet.ac.in/epgpdata/u ... -7,M-3.pdf

[compa90]

Ciao, ho letto l'esempio, c'è qualcosa che non mi torna, cioè nell'esempio non viene fatto il cambiamento di variabile nella funzione integranda ma solo su gli estremi, non andrebbe fatto ?

Io faccio cosi, considero $ int_0^1 1/(1+x^2) dx$ e pongo $x=1/2(1+t)$, sicché
$ x=0 \to t=-1, x=1 \to t=1$, $ dx=1/2 dt$
e la funzione integranda diventa
$ f(x)=f(1/2+t/2)=1/(1+(1/2+t/2)^2)=1/(1+(1/4+t^2/4+t/2))=4/(5+2t+t^2)$
allora
$ int_0^1 1/(1+x^2) dx=1/2int_(-1)^1 4/(5+2t+t^2) dt$

Infine, per utilizzare la f. di q. con nodi di G.C. considero $bar{g}(t)=sqrt(1-t^2)* 4/(5+2t+t^2)$, allora

$ int_0^1 1/(1+x^2) dx=1/2int_(-1)^1 4/(5+2t+t^2) dt=1/2int_(-1)^1(bar{g}(t))/(sqrt(1-t^2))dt$

Tuttavia posto script di Matlab di quanto detto

clear all
clc

% Zeri polinomio di Chebychev
x=[0.3826834 0.3826834 -0.9238795 -0.9238795]; 
x=x';
A=0.7853982; 

g=@(t) sqrt(1-t.^2).*(4/(5+t.^2));
s=0;
for i=1:4
    tmp_g=g(x(i));
    s=s+tmp_g; 
end

SI=0.5*A*s;
val1=atan(0); val2=atan(1); 
val_rif=val2-val1; 
err1=abs(val_rif-SI); 

fprintf('STRATEGIA PERSONALE\n')
fprintf('Stima integrale                : %.7f\n',SI);
fprintf('Valore di riferimento integrale: %.7f\n',val_rif);
fprintf('Errore assoluto                : %.4e\n\n\n',err1);

SIE=0.7950767;
err2=abs(SIE-val_rif);
fprintf('STRATEGIA SLIDE\n')
fprintf('Stima integrale esempio        : %.7f\n',SIE);
fprintf('Valore di riferimento integrale: %.7f\n',val_rif);
fprintf('Errore assoluto                : %.4e\n',SI);

con valori in uscita

STRATEGIA PERSONALE
Stima integrale                : 0.7693579
Valore di riferimento integrale: 0.7853982
Errore assoluto                : 1.6040e-02


STRATEGIA SLIDE
Stima integrale esempio        : 0.7950767
Valore di riferimento integrale: 0.7853982
Errore assoluto                : 7.6936e-01

Dov'è l'errore ?
Saluti