[EX] ODE con metodo di Eulero

[feddy]

Ciao a tutti,

propongo il seguente esercizio sul metodo di Eulero. Tutto quello che serve sapere è lo schema numerico che costruisce la soluzione $y_{n+1} \approx y(x_{n+1})$ nella pagina linkata.

Dato il p.d.c
\begin{cases}
y'(x)=-2y(x) \\
y(0.5)=1
\end{cases}

si studi il comportamento della soluzione approssimata mediante il metodo di Eulero, al variare del passo $h$ nell'intervallo $[0.5,6]$. Inoltre, si analizzi il comportamento della soluzione approssimata nel punto $x=6$ quando $h \rarr 0$.

[feddy]

Soluzione

Sia ${y_n}_{n \in \mathbb{N}}$ la successione numerica che approssima la soluzione. Definito $y_0=y(0.5)=1$, lo schema porge $y_{n+}=y_n + h f(t_n,y_n)=y_n - 2h y_n=(1-2h)^n$, da cui per ricorrenza segue subito $y_{n+1}= y_0 \cdot (1-2h)^{n+1}=(1-2h)^{n+1}$.
Evidentemente, detta $y(x)$ la soluzione (unica) del p.d.C, si ha che la soluziona sarà monotona decrescente, e quello ovviamente deve essere che pure la soluzione numerica abbia questo comportamento, perciò deve essere $|1-2h|<1$, da cui $0 Per lo studio del comportamento della soluzione per $x=6$ si deve trovare il numero di nodi affinché $y_n$ approssimi $y(6)$, perciò, visto che il passo $h$ è costante segue che $x_n= x_0 + n \cdot h=0.5 + n \cdot h = 6$. L'ultima equazione, risolta per $h$, da come risultato $h=\frac{11}{2n}$.

Si deve quindi studiare nel limite $ h \rarr 0$ la soluzione approssimata. Conviene notare che $h \rarr 0 <=> n \rarr +\infty$, da cui basta studiare il limite $\lim_{n \rarr + \infty} (1-2h)^n= (1-\frac{11}{n})^n= e^{-11}$.

Notando che la soluzione analitica è $y(x)=e^{-2x+1}$, segue che $y_n \rarr_{+\infty} y(6)$


E' molto semplice anche implementare questo metodo in Octave con un ciclo for, e con un ulteriore ciclo se ne può mostrandone pure l'ordine.

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#Risoluzione  + CHECK ORDINE 


tsrange=[10:10:1000];
count=0;
y0=1;
for ts=tsrange
	count++;
	f=@(y) -2*y;
	x=linspace(0.5,6,ts+1);
	s=@(x) exp(-2*x +1);
	h=(6-0.5)/ts;
	y=zeros(1,ts+1);
	y(1)=y0;
	for n=1:ts
		y(n+1)=y(n) + h*f(y(n)); #Eulero esplicito
	end

	err(count)=norm(s(x)-y(1,:),inf);

end
figure
plot(x,y,'b-o',x,exp(-2*x+1),'r')

figure
loglog(tsrange,err,'*')