Esercizio sul metodo $x_(k+1)=phi(x_k)$
salve a tutti,cerco pareri per svolgere questo esercizio,da fare non al computer (è di un compito),perchè l'analisi numerica in genere per me è ancora molto nebulosa sia in termini di materia sia in termini di approccio accademico,ho cercato di svolgere l'esercizio,ma purtroppo per me non c'è niente di sicuro e spero che qualcuno possa aiutarmi a chiarire i dubbi per quanto ingenui siano..
studiare il metodo $x_(k+1)=phi(x_k)$ con $phi(x)=(2x^3)/(3x^2-1)$
1) trovare i punti fissi di $phi$
2)analisi della convergenza locale
3)esaminare il comportamento del metodo partendo da $x_0=2$(la monotonia e la limitatezza della successione $x_k$)
1) non capisco,i punti fissi sono gli zeri della $f(x)$ e vanno calcolati con iterazioni dopo aver visto che metodo usare e aver studiato la convergenza no? per cui sono perplesso a svolgere l'equazione $x=(2x^3)/(3x^2-1)$ (che se fosse stata ad esempio $x=e^x$ sarebbe stato impossibile)
$x=(2x^3)/(3x^2-1)->-x(3x^2-1)+2x^3=0$ ne viene che i punti fissi sono $x_(1,2,3)=0,1,-1$
2)faccio la derivata di $phi'(x)=(6x^2(x^2-1))/(3x^2-1)^2$ e visto che i punti fissi sono gia stati calcolati (nel senso che non devo analizzare intervalli) calcolo direttamente $|phi_i'(x)|$ per $i=1,2,3$.
ne viene che $phi_i'(x)=0$ quindi il metodo converge localmente per tutti i punti e se non sbaglio essendo la derivata nulla la convergenza è quadratica(in gergo si dice ordine $p=2$?)
3)non capisco cosa rimane da fare a parte iterare,cosa che gia per $x_2$ diventa laboriosa a mano,per cui come faccio a capire un andamento a parte per i primi 2 passi?
studiare il metodo $x_(k+1)=phi(x_k)$ con $phi(x)=(2x^3)/(3x^2-1)$
1) trovare i punti fissi di $phi$
2)analisi della convergenza locale
3)esaminare il comportamento del metodo partendo da $x_0=2$(la monotonia e la limitatezza della successione $x_k$)
1) non capisco,i punti fissi sono gli zeri della $f(x)$ e vanno calcolati con iterazioni dopo aver visto che metodo usare e aver studiato la convergenza no? per cui sono perplesso a svolgere l'equazione $x=(2x^3)/(3x^2-1)$ (che se fosse stata ad esempio $x=e^x$ sarebbe stato impossibile)
$x=(2x^3)/(3x^2-1)->-x(3x^2-1)+2x^3=0$ ne viene che i punti fissi sono $x_(1,2,3)=0,1,-1$
2)faccio la derivata di $phi'(x)=(6x^2(x^2-1))/(3x^2-1)^2$ e visto che i punti fissi sono gia stati calcolati (nel senso che non devo analizzare intervalli) calcolo direttamente $|phi_i'(x)|$ per $i=1,2,3$.
ne viene che $phi_i'(x)=0$ quindi il metodo converge localmente per tutti i punti e se non sbaglio essendo la derivata nulla la convergenza è quadratica(in gergo si dice ordine $p=2$?)
3)non capisco cosa rimane da fare a parte iterare,cosa che gia per $x_2$ diventa laboriosa a mano,per cui come faccio a capire un andamento a parte per i primi 2 passi?
Risposte
Sul punto 3: penso ti stia chiedendo di capire se partendo da \(x_0 = 2\) si vada a finire in uno dei "bacini di convergenza" dei punti fissi, cioè vedere se capiti abbastanza vicino ad uno degli \(x_i\) da poter dire che da quel punto in avanti finisci nel punto fisso in questione [via Teorema di Banach-Caccioppoli o delle contrazioni].
equivale a calcolare il rate di convergenza? sai come si calcola?
No, il tasso di convergenza si calcola col rapporto dei logaritmi dei rapporti degli errori..... Ed altre cose finto-complicate che però ora non ci interessano.
Quello che ti sto dicendo è che devi capire, partendo da quel valore iniziale, se il metodo converge e, in tal caso, a quale degli zeri della funzione [aka punti fissi di \(\phi\)].
Quello che ti sto dicendo è che devi capire, partendo da quel valore iniziale, se il metodo converge e, in tal caso, a quale degli zeri della funzione [aka punti fissi di \(\phi\)].
Non sono un'esperta di analisi numerica ma ti dico quello che so!
Per il punto 1) va bene svolgere l'equazione che hai impostato! Il "metodo da usare" è dato dalla $phi$; una volta data la funzione che determina il metodo vuoi capire quando il metodo (cioè la successione determinata dalla $phi$) converge (relativamente agli intervalli di partenza). Allora per prima cosa calcoli i punti fissi di $phi$: si tratta del primo passo per verificare la convergenza; infatti, c'è un teorema che ci assicura che se $phi$ è $C^1$ in un intorno di un punto fisso e $|phi'|<1$ in tale intorno allora la successione è tutta contenuta in quell'intorno e ha limite il punto fisso a patto di prendere il primo elemento della successione nell'intorno considerato. (Viceversa, se $phi$ continua in un intervallo e la successione è tutta contenuta nell’intervallo e ha limite $alpha$ allora $alpha$ è punto fisso per $phi$, cioè i punti fissi di $phi$ sono gli unici possibili limiti della successione..) Se tu non conoscessi i punti fissi non potresti scegliere un intorno e quindi verificare la convergenza del metodo; dire che "il metodo converge" significa dire che la successione data converge (e può convergere solo a un punto fisso di $phi$, cioè a uno zero di $f$) quindi è naturale cercare per prima cosa i possibili limiti. Inoltre, come dici tu stesso all'inizio del punto 2) (dove verifichi se questi limiti esistono o meno), "i punti fissi sono già stati calcolati": è una specie di facilitazione da parte dell'insegnante che ti suggerisce di fatto il primo passo da compiere per studiare la convergenza del metodo proposto.
Per il punto 2) non è proprio vero che l'ordine è 2..anche qui c'è un teorema: se $phi \in C^p$ in un intervallo contenente il punto fisso ha le prime $p-1$ derivate nulle nel punto fisso e derivata $p-e\s\i\ma$ non nulla nel punto fisso allora esiste un intorno del punto fisso in cui la successione converge in modo superlineare con ordine $p$ (con il primo elemento della successione nell'intorno). Quindi nel tuo caso l'ordine è *almeno* 2, ma non puoi concludere che è proprio 2 senza aver calcolato la derivata seconda. Inoltre fai attenzione: nel tuo caso puoi dire che la convergenza è superlineare osservando la derivata prima della funzione calcolata nel punto fisso solo perchè la tua $phi$ è $C^1$ in un intervallo contenente il punto fisso, ma non vale in generale.
Spero di essere stata di aiuto e di non aver commesso troppi errori! Anzi, ringrazio in anticipo se qualcuno vuole correggere/integrare quello che ho scritto..
Per il punto 1) va bene svolgere l'equazione che hai impostato! Il "metodo da usare" è dato dalla $phi$; una volta data la funzione che determina il metodo vuoi capire quando il metodo (cioè la successione determinata dalla $phi$) converge (relativamente agli intervalli di partenza). Allora per prima cosa calcoli i punti fissi di $phi$: si tratta del primo passo per verificare la convergenza; infatti, c'è un teorema che ci assicura che se $phi$ è $C^1$ in un intorno di un punto fisso e $|phi'|<1$ in tale intorno allora la successione è tutta contenuta in quell'intorno e ha limite il punto fisso a patto di prendere il primo elemento della successione nell'intorno considerato. (Viceversa, se $phi$ continua in un intervallo e la successione è tutta contenuta nell’intervallo e ha limite $alpha$ allora $alpha$ è punto fisso per $phi$, cioè i punti fissi di $phi$ sono gli unici possibili limiti della successione..) Se tu non conoscessi i punti fissi non potresti scegliere un intorno e quindi verificare la convergenza del metodo; dire che "il metodo converge" significa dire che la successione data converge (e può convergere solo a un punto fisso di $phi$, cioè a uno zero di $f$) quindi è naturale cercare per prima cosa i possibili limiti. Inoltre, come dici tu stesso all'inizio del punto 2) (dove verifichi se questi limiti esistono o meno), "i punti fissi sono già stati calcolati": è una specie di facilitazione da parte dell'insegnante che ti suggerisce di fatto il primo passo da compiere per studiare la convergenza del metodo proposto.
Per il punto 2) non è proprio vero che l'ordine è 2..anche qui c'è un teorema: se $phi \in C^p$ in un intervallo contenente il punto fisso ha le prime $p-1$ derivate nulle nel punto fisso e derivata $p-e\s\i\ma$ non nulla nel punto fisso allora esiste un intorno del punto fisso in cui la successione converge in modo superlineare con ordine $p$ (con il primo elemento della successione nell'intorno). Quindi nel tuo caso l'ordine è *almeno* 2, ma non puoi concludere che è proprio 2 senza aver calcolato la derivata seconda. Inoltre fai attenzione: nel tuo caso puoi dire che la convergenza è superlineare osservando la derivata prima della funzione calcolata nel punto fisso solo perchè la tua $phi$ è $C^1$ in un intervallo contenente il punto fisso, ma non vale in generale.
Spero di essere stata di aiuto e di non aver commesso troppi errori! Anzi, ringrazio in anticipo se qualcuno vuole correggere/integrare quello che ho scritto..
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