Esercizio su FEM

[andros1]

Buongiorno ragazzi, spero possiate darmi una mano con questo esercizio:

Write the variational formulation of the problem
$-(\partial^2u)/(\partialx^2 ) -2 (\partial^2u)/(\partialy^2 )= f$ in $Omega in RR^2$
and then the piecewise linear finite element approximation

Avevo intenzione di ricavare il laplaciano , moltiplicare per una funzione di test e integrare il tutto...ma non ho idea su come trovare il laplaciano.
Qualche consiglio ?

[Raptorista1]

Ecco un suggerimento:
\[
\Delta u = \nabla \cdot (\nabla u) = \nabla \cdot (I \cdot \nabla u)
\]

[andros1]

"Raptorista":Ecco un suggerimento:
\[
\Delta u = \nabla \cdot (\nabla u) = \nabla \cdot (I \cdot \nabla u)
\]

Grazie della risposta, in questo caso invece della matrice identità dovrei avere $((1,0),(0,2))$.
Dopo aver ricavato il laplaciano volevo usare il teorema di green per liberarmi delle derivare seconde; quindi posso procedere in questo modo:

$- \int_Omega [\nabla \cdot ( ((1,0),(0,2)) \cdot \nabla u)]v dxdy = \int_Omega fv dxdy $ dove $v$ è la funzione di test scelta in modo opportuno.

Richiamando il teorema di Green:
$ \int_Omega (\nabla \cdot vec W ) varphi dxdy + \int_Omega ( vec W\cdot \nabla varphi ) dxdy = \int_(delOmega )(vec W \cdot vec n) varphi ds $

dove $varphi$ è una funzione scalare $ vec W$ e un vettore.Posso quindi porre $ vec W=((1,0),(0,2)) \cdot \nabla u$ e $varphi=v$.
Se scelgo $v=0$ su $delOmega$ il secondo membro dell'ultima equazione va via e posso finalmente scrivere:

$\int_Omega ( (1,0),(0,2)) \cdot \nabla u \cdot \nabla varphi ) dxdy = \int_Omega fv dxdy $
Corretto ?

[Raptorista1]

A parte errori di battitura, sì.